PMK равнобедренный т.к высота проведённая из угла К к стороне им делит РМ пополом следовательно РО = ОМ а в равнобедренном треугольнике высота проыеденная к основанию делит его пополом и является высотой, медианой и бессиктрисой угол М и Р =30°
В сечении имеем равнобедренный треугольник МРК. МК = МР. Сторона РК (по свойству подобных треугольников) равна 1/3 части ВС: РК = 6/3 = 2. Так как углы всех граней тетраэдра равны 60°, то длину сторон МК и МР находим по теореме косинусов из треугольника МДК: (по условию МД = 3, а КД = РД = 6/3 = 2) Теперь все стороны известны и по Герону находим площадь: a b c p 2p S 2.64575 2 2.64575 3.64575 7.2915026 2.4494897 cos A = 0.3779645 cos B = 0.7142857 cos С = 0.377964473 Аrad = 1.1831996 Brad = 0.7751934 Сrad = 1.18319964 Аgr = 67.792346 Bgr = 44.415309 Сgr = 67.7923457
Найдем координаты и модули векторов. АВ{(4-1);1-1)} или АВ{3;0}, |AB|= √(3²+0) = 3. ВС{(4-4);5-1)} или ВС{(0;4)}, |ВС|= √(0+4²) = 4. АС{(4-1);5-1)} или АС{(3;4)}, |АС|= √(3²+4²) =5. Формула косинуса угла между вкуторами 1 и 2: cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]. В нашем случае угол между векторами АВ и ВС: cos(<ABC)=(3*0+0*4)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]=0. Угол 90°. угол между векторами АВ и АС: cos(<BAC)=(3*3+0*4)/(3*5)=3/5. Угол ≈53°. угол между векторами ВС и АС: cos(<ACB)=(0*3+4*4)/(4*5)=4/5 Угол ≈37°. ответ: cosA=3/5, cosB=0, cosC=4/5.
