Из центра о вписанного в треугольник авс окружности к плоскости этого треугольника проведено перпендикуляр ос длиной 3 см. найдите площадь треугольника asb, если ав = 14 см, ac = 15 см, вс = 13 см.
S(ASB) =1/2*AB*SK ; SK =√ (OK² + OS²) ; ( вспомнить теорема о трех перпендикуляров ) SK=√(r² +OS²) ; здесь r радиус окружности вписанной в треугольник : r =S(ABC)/p ; p - полупериметр r = S(ABC)/p = (√p(p-a)(p-b)(p-c))/p =84/21 =4 (см). SK =√(4²+3²) =5 (см). окончательно : S(ASB) =1/2*AB*SK =1/2*14*5 =35 (см²) .
У колі з радіусами АО і ОВ пряма а проходить через середини радіусів так, що ОЕ = ОА/4. Оскільки відстань - це перпендикуляр, маємо прямокутний трикутник КОЕ та РОЕ. З прямокутного трикутника КОЕ: ОК = ОА/2, ОЕ = ОА/4. Тобто, катет ОЕ у два рази менший за гіпотенузу ОК. Катет, що дорівнює половині гіпотенузи, лежить проти кута 30 градусів. Тобто, кут ОКЕ = 30 градусів. Кут КОЕ = 90 - 30 = 60 градусів. Трикутники КОЕ та РОЕ рівні за прямим кутом та гіпотенузою, тобто кути КОЕ та РОЕ рівні і дорівнюють по 60 градусів. Кут АОВ = <KOE + <POE = 60 + 60 = 120 градусів.
Окружность = 360° 1) 5+4 =9 столько частей в этих 360° Меньшая дуга 360:9*4=40°*4=160° Градусная величина этой дуги соответствует величине центрального угла ( на рисунке 1 это угол АОВ). Вписанный угол АСВ равен половине центрального угла. 160°:2=80° - под этим углом видна хорда из любой точки на дуге АСВ Если точку взять на дуге по другую сторону хорды, то угол, под которым она будет видна, равен 360°:9*5:2=100°. Но обычно имеется в виду острый угол. ------------ 2) 7+3=10 столько частей в двух дугах. 360°:10*3=108° содержит центральный угол КОМ ( второй рисунок) Вписанный угол МЕК равен половине градусной меры центрального угла. 108°:2=54° - под этим углом видна вторая хорда. (Или, если точка расположена по другую сторону хорды, 360:10*7:2=126°)
S(ASB) =1/2*AB*SK ;
SK =√ (OK² + OS²) ;
( вспомнить теорема о трех перпендикуляров )
SK=√(r² +OS²) ; здесь r радиус окружности вписанной в треугольник : r =S(ABC)/p ; p - полупериметр
r = S(ABC)/p = (√p(p-a)(p-b)(p-c))/p =84/21 =4 (см).
SK =√(4²+3²) =5 (см).
окончательно :
S(ASB) =1/2*AB*SK =1/2*14*5 =35 (см²) .