Question

Решить : в прямоугольном треугольнике авс угол в=90.а построенная на ак бисектрисе ,как на диаметре окружность ,пересекает гипотенузу в точке е ,так что ае: ес=m.с каким отношение делит высота опущенная из прямого угла гипотенузу?

Answer 1

Δ AKE прямоугольный, так как ∠KEA вписанный и опирается на диаметр.
Δ AKE = Δ ABK; так как у них общая гипотенуза AK, и ∠ KAE = ∠ KAB;
=> AB = AE; 
=> AE/EC = m = AB/(AC - AB) = (AB/AC)/(1 - (AB/AC));
AB/AC = m/(m+1);
Курсив можно не читать. Начиная с этого момента (то есть, как только найдено отношение катета к гипотенузе), решать задачу уже можно как угодно.
К примеру, это можно сделать так. Высота в прямоугольном треугольнике делит его на два, которые подобны исходному, и между собой. Из этого подобия легко найти, что нужное отношение
x = (AB/BC)^2 = AB^2/(AC^2 - AB^2) = 1/((AC/AB)^2 - 1) = 1/((m + 1)^2/m^2 - 1) = m^2/(2m + 1); 
Но для сохранения "стиля" я сделаю вот что :) между прочим, дальнейшие действия трудно описать коротко, но на самом деле это один, и очень короткий шажок.
Пусть Р - такая точка на гипотенузе AC, что PK II AB;
=> AP/PC = BK/KC;
Δ PKC подобен исходному Δ ABC, и в нем KE - высота к гипотенузе. То есть нужное отношение (решение задачи) равно PE/EC = x; (это - главный "шажок")
По свойству биссектрисы AB/AC = BK/KC; => AP/PC = AB/AC = m/(m+1);
(AE - PE)/(EC + PE) = m/(m + 1); 
(m - PE/EC)/(1 + PE/EC) = m/(m + 1);
(m - x)/(1 + x) = m/(m + 1); откуда и находится x = m^2/(2m+1);