Обозначим сторону основания а. Проведём плоскость через ребро основания АВ перпендикулярно боковому ребру SC для выделения угла между боковыми гранями. Обозначим на ребре SC точку К - это вершина равнобедренного треугольника АКВ. По заданию угол АКВ равен α. sin (α/2) = √(1-cos²(α/2)) = √(1-(4/9)) = √(5/9) = √5/3 Сторона АК = (а/2)/sin(α/2) = (a/2)/(√5/3) = 3a/(2√5). Теперь рассмотрим боковую грань АSC. В этом треугольнике АК - высота.Угол С = arc sin (AK/AC) = arc sin( 3a/(2√5)/a = arc sin 3/(2√5) = = 0.735314 радиан = 42.13041 градусов. Искомый угол при вершине равен 180-2(угла С) = 180 - 2* 42.13041 = = 95.73917 градуса.
Это задача на теорему Менелая. (AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A) = 1; B1 - точка пересечения C1A1 и AC; вообще то тут стоит -1; но про ориентацию отрезков в данном случае можно забыть. Пусть B1C = y; B1A = x; (2/5)*(6/1)*y/(x + y) = 1; Это применена теорема Менелая к треугольнику ABC. x + y = (12/5)*y; x = (7/5)*y; AM = MC = x/2 = (7/10)*y; MB1 = y + x/2 = (17/10)*y; Теперь теорема Менелая применяется к треугольнику ABM (можно и к CBM); (AC1/C1B)*(BN/NM)*(MB1/B1A) =1; (2/5)*(BN/NM)*(17/10)/(12/5) = 1; BN/NM = 60/17;
Для тех, кто не знаком с теоремой Менелая (которая доказывается элементарно), есть такой вариант решения (коротко) Если провести параллельные AC прямые через C1 и A1, то стороны и медиана разобьются на куски в пропорциях 5:1:1, считая от вершины B. Получилась трапеция с основаниями (5/7)*x и (6/7)*x; x = AC; в которой C1A1 - диагональ. Она делит заключенный между "основаниями" кусок медианы в пропорции 5/6, считая от меньшего. То есть, если медиана m, то между основаниями (1/7)*m; и эта "седьмушка" делится на куски (5/11)*(1/7)*m и (6/11)*(1/7)*m; нужное отношение BN/NM = ((5/7)*m + (5/11)*(1/7)*m)/((1/7)*m + (6/11)*(1/7)*m) = 60/17
Проведём плоскость через ребро основания АВ перпендикулярно боковому ребру SC для выделения угла между боковыми гранями.
Обозначим на ребре SC точку К - это вершина равнобедренного треугольника АКВ. По заданию угол АКВ равен α.
sin (α/2) = √(1-cos²(α/2)) = √(1-(4/9)) = √(5/9) = √5/3
Сторона АК = (а/2)/sin(α/2) = (a/2)/(√5/3) = 3a/(2√5).
Теперь рассмотрим боковую грань АSC. В этом треугольнике АК - высота.Угол С = arc sin (AK/AC) = arc sin( 3a/(2√5)/a = arc sin 3/(2√5) =
= 0.735314 радиан = 42.13041 градусов.
Искомый угол при вершине равен 180-2(угла С) = 180 - 2* 42.13041 =
= 95.73917 градуса.