Найдите сторону меньшего основания правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, если её боковое ребро равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 45°, а диагональ пирамиды равна 9 см.
Найдите сторону меньшего основания правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, если её боковое ребро равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 45°, а диагональ пирамиды равна 9 см. ---------- Пирамида правильная, следовательно, основания - квадраты и их плоскости параллельны. Сделаем и рассмотрим рисунок. Диагональное сечение пирамиды - равнобедренная трапеция АКЕС, основаниями которой служат диагонали оснований пирамиды. Диагональ КС=9 см, боковые стороны равны 8 см. Углы при большем основании равны 45° Высота КН перпендикулярна основанию и образует с боковой стороной равнобедренный прямоугольный треугольник АКН. КН=АН=АК*sin (45°)=4√2 см Из прямоугольного треугольника КНС по т.Пифагора найдем НС НС²=КС²-КН² Т.Пифагора каждый, изучающий стереометрию, знает, поэтому не буду приводить вычисления. НС=7 см Из Е опустим перпендикуляр ЕР. НС=НР+РС НР=КЕ РС=АН=47-4√2 см КЕ=7-4√2 см КЕ - диагональ меньшего основания. Его сторона КТ=КЕ*sin (45°)= [(7-4√2)*√2]:2=(7√2-8):2 КТ=(7√2-8):2 см
2. 4+7=11 (частей) Одна часть: 44/11 = 2 Большее основание равно: 2*4=8 см Меньшее основание равно: 2*7=14 см
3. Диагонали делят острые углы трапеции пополам => получаем ромб, у которого все стороны равны 8 см. Р=8+8+8+10=34 см
4. Имеем трапецию ABCD. Основания - AD, BC. Диагонали пересекаются в точке P. MN - средняя линия, пересекаемая сторону BD в точке О и AC в точке K. В треугольнике ABC средняя линия MK равна 1/2*BC, а средняя линия KN в треугольнике ACD = 1/2*AD. Треугольник BCP одновременно прямоугольный и равнобедренный, соответственно высота, опущенная из точки P к вершине, является медианой. Она равна 1/2*BC. В треугольнике APD, высота, опущенная из точки P, - медиана. Равна 1/2*AD. Что и требовалось доказать.
Для начала найдем отношение ВР/РС. Для этого: Проведем BD параллельно АС. Тогда <PAC=<BDA, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей АD. ∆АКМ ~ ∆BKD по двум углам (1). ∆АРС ~ ∆DРВ по двум углам (2). Из (1) BD/AM=4 и BD=4AM = 2AC. Из (2) BP/PC=2. ВМ - медиана и по ее свойствам Sabm=Scbm. Треугольники АВК и АКМ - треугольники с общей высотой к стороне ВМ. Значит Sabk/Sakm=4/1. => Sabk=Sabc*(1/2)*(4/5)=(2/5)*Sabc. Sakm=Sabc*1/(2*5)=(1/10)*Sabc. Треугольники ABP и APC - треугольники с общей высотой к стороне ВC. Значит Sabp/Sapc=2/1. => Sapc=Sabc*1/3=(1/3)*Sabc. Тогда Skpcm=Sapc-Sakm = (1/3)*Sabc-(1/10)*Sabc = (7/30)*Sabc. Sabk/Skpcm=(2/5)/(7/30)=12/7.
----------
Пирамида правильная, следовательно, основания - квадраты и их плоскости параллельны.
Сделаем и рассмотрим рисунок.
Диагональное сечение пирамиды - равнобедренная трапеция АКЕС, основаниями которой служат диагонали оснований пирамиды.
Диагональ КС=9 см, боковые стороны равны 8 см.
Углы при большем основании равны 45°
Высота КН перпендикулярна основанию и образует с боковой стороной равнобедренный прямоугольный треугольник АКН.
КН=АН=АК*sin (45°)=4√2 см
Из прямоугольного треугольника КНС по т.Пифагора найдем НС
НС²=КС²-КН²
Т.Пифагора каждый, изучающий стереометрию, знает, поэтому не буду приводить вычисления.
НС=7 см
Из Е опустим перпендикуляр ЕР.
НС=НР+РС
НР=КЕ
РС=АН=47-4√2 см
КЕ=7-4√2 см
КЕ - диагональ меньшего основания.
Его сторона
КТ=КЕ*sin (45°)= [(7-4√2)*√2]:2=(7√2-8):2
КТ=(7√2-8):2 см