Высота правильной треугольной пирамиды равна h, двугранный угол при основании равен α. найти объемы пирамиды и вписанного в пирамиду шара. (можно решить для h = 3, α = 60.)
Из прямоугольного треугольника, катеты которого — высота пирамиды h и высота основания пирамиды с а гипотенуза — апофема L, найдем: 1) высота основания с=h/tg α=3/tg 60=3/√3=√3, 2) апофема L=h/sin α=3/sin 60=2√3 Сторона основания (равностороннего треугольника): а=2с/√3=2√3/√3=2 Площадь основания So=са/2=2√3/2=√3 Объем пирамиды Vп=So*h/3=√3*3/3=√3 Нам еще понадобится периметр основания Р=3а=3*2=6 Найдем радиус вписанного шара через объем пирамиды и ее полную поверхность: R=3Vп/Sполн Sполн=Sбок+Sо=PL/2+Sо=6*2√3/2+√3=7√3 R=3*√3/7√3=3/7 Объем шара V=4πR³/3=4π*(3/7)³/3=36π/343
Если достроить трапецию до треугольника, то точка Р -- центр вписанной в этот треугольник окружности (((центр вписанной в треугольник окружности = точка пересечения биссектрис))) расстояния до этих прямых --- это радиусы... единственное, Вы не указали АВ -- это основание или боковая сторона... если АВ -- боковая сторона трапеции, то окружность окажется заключенной между параллельными основаниями трапеции... и эта окружность будет вписана в углы C и D ((т.к. центр окружности --- пересечение биссектрис этих углов))) биссектриса = это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла... т.е. точка, лежащая на биссектрисе угла ADC равноудалена от AD и DC точка, лежащая на биссектрисе угла DCВ равноудалена от DС и CВ...
1. Радиус r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1. S =π*r₁² ⇒ r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π) < 1 = r. значит можно. 2. Не может. k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ . Если : AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁. BE : EC = 1 : 2 ⇒BE = k₂ , EC = 2k₂ ; BC=3k₂. CF : FA = 1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA = 2k₃ ; AC =3k₃. DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ; EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ . AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁ ⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.
Если : AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁. BE : EC = 2 : 1 ⇒BE = 2k₂ , EC = k₂ ; BC=3k₂. DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда точка касания F середина AC.
1) высота основания с=h/tg α=3/tg 60=3/√3=√3,
2) апофема L=h/sin α=3/sin 60=2√3
Сторона основания (равностороннего треугольника):
а=2с/√3=2√3/√3=2
Площадь основания So=са/2=2√3/2=√3
Объем пирамиды Vп=So*h/3=√3*3/3=√3
Нам еще понадобится периметр основания Р=3а=3*2=6
Найдем радиус вписанного шара через объем пирамиды и ее полную поверхность: R=3Vп/Sполн
Sполн=Sбок+Sо=PL/2+Sо=6*2√3/2+√3=7√3
R=3*√3/7√3=3/7
Объем шара V=4πR³/3=4π*(3/7)³/3=36π/343