Средняя линия трапеции - полусумма оснований.
Обозначим среднюю линию трапеции КL
Средняя линия этой трапеции состоит из КМ, равной ( из треугольника АВС) половине ВС, и МL, равной половине АD, как половина второго основания .
МL=3 половины ВС,так как АD:2= 3 ВС:2.
NL=1/2 ВС из Δ ВСD как средняя его линия.
Отсюда МN=2NL
МN=2NL=ВС, и
Δ МОN=Δ ВОС по равной стороне и 2-м углам, как накрестлежищим при пересечении параллельных прямых секущими ВD и АС.
Из свойства треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями, треугольники, прилежащие к основаниям, подобны.
Δ ВОС ≈ Δ АОD также и по по трем равным углам.
Следовательно, и Δ МОN, как равный Δ ВОС, подобен Δ АОD
Площадь трапеции - произведение полусуммы оснований на высоту
S АВСD=h*КL
В подобных треугольниках высоты относятся как их стороны.
ВысотаΔ ВОС =1/3 h Δ АОD = 1/4 h АВСD
Площадь ВОС равна половине произведения 1/4 h трапеции на ВС
ВС=1/2 КL
S Δ ВОС равна (1/2 КL*1/4 h):2 =1/16 h*КL
Площадь Δ МОN, как равного Δ ВОС, равна 1/16 h*КL
Следовательно, SΔ МОN: S АВСD - 1:16
Проведём высоту трапеции через точку О. Обозначим ВС=Х, тогда АД=5Х. Высота треугольника ВОС ОР=У, тогда высота треугольника АОД=5У, поскольку АОД и ВОС подобны с коэффициентом подобия по условию=5. Тогда высота трапеции РQ равна У+5У=6У. Отрезок МN лежит на средней линии трапеции, которая делит высоту трапеции пополам , то есть КР=3У. Точка К лежит на МN. ОК-высота треугольника МОN. ОК=КР-ОР=3У-У=2У. Треугольники АОД и МОN подобны, коэффициент подобия равен OK/OQ=2/5. Отсюда МN=2/5*АД=2/5*5Х=2Х. Площадь трапеции равна Sавсд=(АД+ВС)/2*РQ=(Х+5Х)/2*6У=18Х*У. Площадь треугольника МОN=1/2*МN*ОК=1/2*2Х*2У=2Х*У. Тогда отношение 2Х*У/18Х*У=1/9.
x+y =180
Рассмотрим правый треугольник, образованный двумя половинами сторон ромба и отрезком, соединяющим середины этих сторон. Он равнобедренный, т.к. его боковые стороны равны половине стороны ромба. Тогда сумма углов при основании равна
180 - x = y, а каждый угол равен y/2.
Аналогично рассмотрим верхний треугольник, образованный двумя половинами сторон ромба и отрезком, соединяющим середины этих сторон. Он равнобедренной по той же причине, и сумма углов при основании равна
180 - y =x, а каждый угол равен x/2.
Тогда угол α, образованный основаниями рассмотренных треугольников образует в сумме с углами x/2 и y/2 развернутый угол, т.е.
α+x/2+y/2= 180, но x/2+y/2 = (x+y)/2 = 180/2 = 90, значит,
α=180-90 = 90
Аналогично для остальных трех углов. А если у четырехугольника все углы прямые, то он является прямоугольником. (То, что стороны попарно равны, видно из равенства соответствующих треугольников, а т.к. углы прямые, то противоположные стороны параллельны).