Question

Из вершины тупого угла ромба проведён перпендикуляр к стороне. под каким углом пересекает этот перпенлекуляр большую диагональ, если длина перпендикуляра- 5 см, а длина этой диагонали- 10 см?

Answer 1

Дано: ABCD - ромб; AG⊥CD; AG=5см; BD=10см.

Найти: ∠(AG, BD).

Диагонали в ромбе служат биссектрисами углов, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Пусть AC∩BD=O, тогда OD = BD÷2 = 10÷2 = 5см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AGC и DOC:

AG = 5см = OD;  ∠C - общий.

ΔAGC = ΔDOC по катету и острому углу, поэтому OC=GC.

Пусть AG∩OD=F.

Рассмотрим прямоугольные ΔFOC и ΔFGC:

FC - общая; OC=GC.

ΔFOC = ΔFGC по гипотенузе и катету, поэтому FO=FG.

Рассмотрим прямоугольные ΔAFO и ΔDFG:

∠AFO = ∠DFG как вертикальные; FO=FG.

ΔAFO = ΔDFG по катету и острому углу, поэтому AF=DF.

ΔAFD - равнобедренный (AF=DF), поэтому ∠DAF=∠ADF.

Пусть ∠СDF=x, тогда ∠ADF=x т.к. ∠CDF=∠ADF как углы при биссектрисе.

∠DAF=∠ADF=x.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠ADF+∠DAF+∠DFA=180°; ∠DFA=180°-∠ADF-∠DAF=180°-2x.

∠GDF+∠DFG+∠FGD=180°; ∠DFG=180°-∠FGD-∠GDF=90°-x.

Сумма смежных углов равна 180°.

∠DFG+∠DFA=180°=(90°-x)+(180°-2x)

270°-3x=180°;  3x=90°;  x=30°.

∠DFG = 90°-x = 90°-30° = 60°.

Угол между пересекающимися прямыми не превышает 90°, 60°<90° ⇒ ∠(AG, BD) = ∠DFG = 60°.

ответ: 60°.

Answer 2

В ромбе все четыре стороны равны: АВ = ВС = CD = AD. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам ⇒ BO = OD = BD/2 = 10/2 = 5 см, АК = ВО = OD = 5 см

В ΔАВС (AB = BC) высоты АК и ВО равны ⇒ равны и стороны, к которым они проведены в силу площади треугольника: S = (1/2)•AK•BC = (1/2)•BO•AC ⇒ ВС = АС, но АВ = ВС, значит, ΔАВС - равносторонний, АВ = ВС = АС, все углы равны по 60°.

Угол между АК и BD равен углу между перпендикулярами АК и BO. Угол между перпендикулярами АК и BO, проведёнными к сторонам угла АСВ, равен самому углу АСВ, это несложно доказать. В четырёхугольнике СОЕК: ∠ЕОС + ∠ЕКС = ∠КЕО + ∠ОСК = 90° + 90° = 180°, ∠ВЕК = 180° - ∠КЕО = ∠ОСК ⇒ ∠ВЕК = ∠ОСК = 60°, значит, ∠(АК;ВD) = 60°

ответ: 60°