Уравнение касательной в точке (x1, y1) к эллипсу (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1; x*x1/a^2 + y*y1/b^2 = 1; Вывести его проще простого - дифференциал в точке (x1, y1) равен 0, заменяется dx = x - x1; dy = y - y1; получается (x1/a^2)*(x - x1) + (y1/b^2)*(y - y1) = 0; откуда сразу получается нужное уравнение. Касательная в точке (x2, y2) на втором эллипсе (x/с)^2 + (y/d)^2 = 1; x*x2/c^2 + y*y2/d^2 = 1; Эти две прямые должны совпадать. То есть x2/c^2 = x1/a^2; y2/d^2 = y1/b^2; если переписать уравнения эллипсов так a^2*(x1/a^2)^2 + b^2*(y1/b^2)^2 = 1; c^2*(x2/c^2)^2 + d^2*(y2/d^2)^2 = 1; и обозначить u = (x1/a^2)^2 = (x2/c^2)^2; v = (y1/b^2)^2 = (y2/d^2)^2; то получается просто линейная система 2х2; a^2*u + b^2*v = 1; c^2*u + b^2*v = 1; У этой системы единственное решение (если есть, конечно, и не просто есть, а должно быть положительно определено, то есть u > 0; v > 0). Уравнения всех ЧЕТЫРЕХ общих касательных получаются потом перебором знаков перед корнями. То есть уравнения касательных будут +-x*√u +- y*√v = 1; Вот вся теория. Как это выглядит для этой задачки. a^2 = 6; b^2 = 1; c^2 = 4; d^2 = 9; 6*u + v = 1; 4*u + 9*v = 1; u = 4/25; √u = 2/5; v = 1/25; √v = 1/5; +-x*2 +- y = 5; вроде так. (ну, в смысле, 2x + y = 5; 2x - y = 5; -2x + y = 5; -2x - y = 5; ясно, что эти прямые образуют ромб). Решение не получилось бы, если бы эллипсы не пересекались.
Даны точки A (– 1; 3), B (1; 5), C (3; 3), D (1; 1).
Если не известно, какая фигура заданный четырёхугольник, то проще его разделить на 2 треугольника: АВС и АСД. Найти их площади и сложить.
Вектор a (АВ) Вектор b (АС)
x y x y
2 2 4 0
4 4 16 0 Квадраты
8 16 Сумма квадратов
Модуль =√8=2√2 ≈ 2,8284 4
Скалярное произведение ABxAC = (2*4 + 2*0) = 8.
cos ВAС = 0,707106781
Угол ВAС = 0,7854 радиан
45 градусов.
Вектор e (АD)
x y
2 -2
4 4
8
2,828427125
Скалярное произведение AСxAD = 8
cos CAD= 0,707106781
Угол CAD = 0,7854 радиан
45 градусов.
S(ABCD) = (1/2)*(AB*AC*sinA+AC*AD*sinCAD)
S(ABCD) = 0,5 *(8+8) = 8.