Проверим, подобны ли треугольники MNC и ABC:
NC/BC=9/12=3/4
MC/AC=12/16=3/4
Угол С у этих треугольников общий. Значит, по первому признаку подобия треугольников (который гласит, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника и стороны, образующие этот угол, одного треугольника пропорциональны сторонам, образующим этот угол, другого треугольника, то они подобны) MNC и ABC подобны.
А в подобных треугольниках соответственные углы равны. Т.е., к примеру, угол CNM=углу CBA, следовательно, по признаку параллельности прямых MN||AB
Из прямоугольных ∆ СВВ1 и ∆САА1 с общим острым углом С
cos C=В1С:ВС=А1С:АС
По первой лемме о высотах –
(Если в треугольнике ABC нет прямого угла, AA1 и BB1 – его высоты, то ∆ А1В1С подобен ∆ ABC., т.е. если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному)⇒
∆ А1В1С подобен ∆ АВС.
Случай 1)
∆ АВС остроугольный. Из подобия треугольников следует отношение:
А1B1:АB=В1С:ВС=cosC
cosC= 2√3:4=√3/2 ⇒ угол С=30°
2)
∆АВС тупоугольный и угол С >90°:
по первой лемме о высотах ∆ А1В1С подобен ∆ АВС.
Косинус угла, смежного с углом С, равен
А1С:АС=В1С:ВС=cos ACA1
cos ACA1=А1В1:АВ=2√3:4=√3/2, угол АСА1=30°, ⇒
угол С=180°-30°=150°
Таким же образом находится величина острого угла С в тупоугольном ∆ АВС, где тупой угол – ∠А или ∠В.
————————————
3) Можно угол С найти по т.синусов.
Так как. ∆АВВ1 и АА1В1 прямоугольные с общей гипотенузой АВ, можно провести окружность около четырехугольника АВА1В1. Треугольник АВВ1 - вписанный.
По т. синусов 
2R=AB=4 ⇒
. Это синус 60°, и тогда
угол С=30°.
Этот решения применим и в случае тупоугольного ∆ АВС.
