Разделяем на треугольники (с общей вершиной в центре окружности). Высота (проведенные из центра) для всех = r [ (касательные (в данном случае стороны многоугольника) ┴ радиусу в точке касания]. S =S(Δ₁) +S(Δ₂)+₂S(Δ₃) + ... +S(Δn) =a₁*r/2 +a₂*r/2+a₃*r/2 +...+an*r/2 = =(1/2)*r( a₁ +a₂+a₃ +...+an) = (1/2)*r*P =(P/2)*r.
Не скажу, что это доказательство в виде теоремы. Скорее объяснение, которое легко запомнить и передать затем своими словами. Окружность называется вписанной в многоугольник, если стороны многоугольника являются для неё касательными. Очевидно, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Но всякий многоугольник можно разделить на треугольники. А площадь треугольника можно найти половиной произведения стороны на высоту, проведенную к ней. S=0,5*h*a, где а - сторона треугольника, h- высота к ней. Для многоугольника его площадь - сумма площадей всех треугольников, на которые его можно разделить: S=S₁+S₂+ S₃ и т.д Высоты треугольников, на которые можно разделить описанный многоугольник, равны радиусу вписанной окружности, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания. . Тогда S=0,5*a₁*r+0,5*a₂*r+0,5*a₃* r+0,5*a₄*r и т.д. Вынесем общий множитель 0,5r за скобки⇒ S=r*0,5*(a₁+a₂+a₃+a₄+ an) Ясно, что 0,5*(a₁+a₂+a₃+a₄+an) - это полупериметр многоугольника Теперь можно площадь многоугольника, в который вписана окружность, записать как S=r*p, где r- радиус вписанной в многоугольник окружности, р- полупериметр этого многоугольника. Что и требовалось доказать. ----- [email protected]
SO перпендикуляр к плоскости многоугольника. Рассмотрим треугольники SOM, SOQ, SOP, SON. Они все равны (прямоугольный, гипотенузы равны, а катет общий), тогда отрезки OM, OQ, OP, ON равны. Наконец, по теореме о трех перпендикулярах OM перпендикулярно AB, OQ - AD, OP - CD, ON - BC. Т.к. длины отрезков равны, а расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, опущенному из этой точки на прямую, то О равноудалена от сторон многоугольника. Т.к. О принадлежит плоскости многоугольника, то О - центр вписанной окружности, ч.т.д.
Короче, чтобы решить эту задачу, тебе нужно будет сходить на кухню! (это не шутка, я серьёзно говорю). 1. Идешь на кухню. 2. Берешь спички или зажигалку. 3. Если у тебя балкон застеклённый, то можешь открыть дверь. 4. Возвращайся обратно за учебником или задачником, где написана задача, бери его с собой и спички (или зажигалку) не забудь! 5. Идёшь на балкон, открываешь любое окошко в нём. 6. Чиркаешь спичку, или приводишь в действие зажигалку. 7. Огнём сжигаешь данный учебник (тетрадь, задачник). 8. Ошмётки и останки от учебника скидываешь в окно с криком "Алах-бабах" 9. Приходишь в школу и говоришь учителю, что твой учебник сгорел при пожаре. 10. Всё готово!1!
Высота (проведенные из центра) для всех = r [ (касательные (в данном случае стороны многоугольника) ┴ радиусу в точке касания].
S =S(Δ₁) +S(Δ₂)+₂S(Δ₃) + ... +S(Δn) =a₁*r/2 +a₂*r/2+a₃*r/2 +...+an*r/2 =
=(1/2)*r( a₁ +a₂+a₃ +...+an) = (1/2)*r*P =(P/2)*r.
).