Question

Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами тупых углов и в точке пересечения делятся в отношении 3: 13 , считая от вершин тупых углов. вычислите периметр трапеции, если ее высота равна 48 см

Answer 1

Пусть AD | | BC ;AB=CD ; B и D тупые  углы трапеции.
<ABD=<CBD ; O_точка пересечения  диагоналей AC и  BD ;  CO/AO=3/13.

Для удобства обозначаем AD=a ;   BC =b ;  BE⊥A D,  E ∈ [AD] ,BE=48 см .
<ABD=<CBD , но <CBD =< ADB (как накрест лежащие углы )  ⇒AB =AD =a;
AE =(a-b)/2 =(a -3a/13)/2 = 5a/13.  (ΔCOB  подобен ΔAOD   CB/AD=CO/AO).
Из ΔAEB : по теореме Пифагора √(AB² -AE)² = BE ;
√(a² -(5a/13)²) =48 см  ;
12a/13 =48 ⇔a/13 =4    * * * ⇒a =52 (см ) ; b =3a/13 =3*52/13 =12 (см) . * * *
Периметр трапеции : P= AD +2AB  +BC = a+2a + 3a/13 =3*14*a/13 =3*14*4=168 (см) .
ответ: 168 см .

Answer 2

Из условия,что диагонали являются биссектрисами тупых углов, следует, что боковые стороны равны основанию - углы между диагональю и боковой стороной и нижним основанием равны.
Обозначим верхнее основание за х. Тогда из подобия треугольников нижнее основание и боковые стороны равны L = 13х / 3 (это следует из пропорции x / 3 = L / 13).
Если из вершины тупого угла опустить перпендикуляр на нижнее основание, то получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это боковая сторона трапеции, один катет - это высота Н, а второй
равен ((13х/3) - х) / 2 = 5х / 3.
По Пифагору 48² = (13х / 3)² - (5х/3)².
48² = 169х² / 9 - 25х² / 9 = 144х² / 9.
Отсюда х =√(48²*3² / 12²) = 12 см - это длина верхнего основания.
Остальные стороны равны 13*12 / 3 = 52 см.
Периметр трапеции равен 12 + 52*3 = 168 см.