Длины сторон треугольника относятся как 5: 12: 13. соединив середины его сторон , получили треугольник площадью 30.найти периметр исходного треугольника.
Можно и не привязываться к системе координат.. но суть остается прежней) Пусть вершина - А, концы проекций х на ребра: M,K,N. Пусть АМ = 12, АК = 6, AN = 4. Надо найти длину AB = x. Чтобы найти x, надо найти треугольник с прямым углом (так как больше углов не дано, а использовать т. Пифагора легко), в котором известны две стороны. Логично, что можно использовать одну из проекций как высоту, которую опустим на плоскость двух других проекций. Пусть этой высотой будет отрезок, параллельный AK - BC, C принадлежит (AMN). BC = 6см. Тогда отрезок CM = NA так как AM || CN так как они оба перпендикулярны AN (AM - по условию, а CN - по теореме о трех перпендикулярах) Тогда образуется прямоугольный треугольник CMA, у которого известны два катета - AM = 12, CM = 4 Тогда AC^2 = 12^2 + 4^2 Зная AC, можно найти AB, то есть x: AB^2 = AC^2 + BC^2 = 12^2 + 4^2 + 6^2 = 196 => AB = 14см x=14см.
Пусть тр-к ABC имеет медианы AA', BB', CC', построим около него тр-к KLM такой, что KAB подобен CBA, LCB подобен ABC, MAC подобен BCA. Такое постороение возможно, потому что тогда угол CBL + угол ABK + B = 180 так как CBL = C, ABK = A; A + B + C = 180. Аналогично с остальными сторонами. Так как АВС подобен трем другим тр-кам, то получилось 3 параллелограмма: ABLC, ABCM, AKBC Как известно, в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. Тогда BC^2 + AL^2 = 2AB^2+2AC^2 => AL^2=2AB^2+2AC^2-BC^2 Аналогично с остальными медианами - медиана равна половине корня из суммы удвоенных квадратов сторон, образующих угол, из которого опускается медиана, без квадрата стороны, на которую она опущена
a₁ =a/2 ;b₁=b/2 ; c₁=c/2 ;
S₁ =30 .
P --> ?
a₁ : b₁ : c₁ = a : b : c = 5: 12: 13.
a₁=5k ; b₁=12 k ;c₁ =13k.
(a₁)² +(b₁)²= (c₁)² ⇒ треугольник прямоугольный.
S₁ =(1/2)*a₁*b₁;
30 =(1/2)*5k*12k ;
60 = 60k² ⇒k =1.
a₁= 5 ;b₁=12; c₁= 13 .
P₁ =a₁+ b₁+ c₁= 5+12+13 =30 ; * * * a =2a₁ ;b=2b₁ ; c=2c₁ * * *
P =2P₁ =60.
ответ : 60.