Сферу с радиусом 20 см рассекают две перпендикулярные между собой плоскости, которые находятся на расстоянии 12 и 9 см от центра сферы. найдите длину общей хорды двух сечений
Сделаем рисунок. Линия пересечения плоскости и сферы - всегда окружность. Пусть диаметр одной окружности будет АВ, а ее центр - М. Диаметр второй- СД, а ее центр - К Центр сферы О удален от первой плоскости на 12 см. ОМ=12. ОК=9 см По т. Пифагора из тр-ка АМО найдем радиус окружности, по которой пересекает сферу первая плоскость: АМ=√(АО²-МО²)=√(400-144)=16 см Так же найдем радиус второй окружности: КД=√(ОД²-ОК²)=√(400-81)=√319 см Общая хорда сечений - линия ЕР пересечения окружностей. Хорда пересекает диаметры окружностей в общей точке Т. Диаметры окружностей перпендикулярны, следовательно, каждый из них перпендикулярен хорде и делит ее пополам. ЕТ=ТР=х. Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из пересекающихся хорд, равны: АТ*ВТ=ЕТ*ТР МТ=ОК=9 см ВТ=ВМ-МТ=16-9=7 АТ=АМ+МТ=16+9=25 25*7=х² х=√175=5√7 ЕР=2*5√7=10√7 Точно так же можно вычислить длину хорды через произведение отрезков диаметра СД второй окружности. СТ=( √319 -12) ТД=(√319+12) СТ*ТД=( √319 -12)*( √319 -12)=319-144=175 Хорда общая, и произведения отрезков диаметров обеих окружностей равны произведению половин хорды. Длина общей хорды равна 10√7 см
(заглавными буквами обозначаются вершины, а мелкими– стороны, тебе понадобится это) Итак, для начала найдём угол АВС, для этого из суммы углов вычитаем известные(в любом треугольнике 180°): угол АВС=180-75-35=70° теперь считаем угол DВС, так как ВD- биссектриса угла АВС, то угол АВС делим на 2(биссектриса делит угол на два равных угла): угол DВС= 70:2=35° Одно из свойств равнобедренного треугольника говорит о том, что если два противолежащих угла у основания равны– это равнобедренный треугольник. треугольник DВС- равнобедренный. Доказано.
Линия пересечения плоскости и сферы - всегда окружность.
Пусть диаметр одной окружности будет АВ, а ее центр - М.
Диаметр второй- СД, а ее центр - К
Центр сферы О удален от первой плоскости на 12 см.
ОМ=12.
ОК=9 см
По т. Пифагора из тр-ка АМО найдем радиус окружности, по которой пересекает сферу первая плоскость:
АМ=√(АО²-МО²)=√(400-144)=16 см
Так же найдем радиус второй окружности:
КД=√(ОД²-ОК²)=√(400-81)=√319 см
Общая хорда сечений - линия ЕР пересечения окружностей.
Хорда пересекает диаметры окружностей в общей точке Т.
Диаметры окружностей перпендикулярны, следовательно, каждый из них перпендикулярен хорде и делит ее пополам.
ЕТ=ТР=х.
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из пересекающихся хорд, равны:
АТ*ВТ=ЕТ*ТР
МТ=ОК=9 см
ВТ=ВМ-МТ=16-9=7
АТ=АМ+МТ=16+9=25
25*7=х²
х=√175=5√7
ЕР=2*5√7=10√7
Точно так же можно вычислить длину хорды через произведение отрезков диаметра СД второй окружности.
СТ=( √319 -12)
ТД=(√319+12)
СТ*ТД=( √319 -12)*( √319 -12)=319-144=175
Хорда общая, и произведения отрезков диаметров обеих окружностей равны произведению половин хорды.
Длина общей хорды равна 10√7 см