Правильная четырёхугольная пирамида MABCD
AB=BC=CD=AD = 4 см , О - точка пересечения диагоналей
OK⊥CM; OK = 2 см
ABCD - квадрат ⇒ AC = BD = AB*√2 = 4√2 см
ΔOKC : ∠OKC=90°; OC = AC/2 = 2√2 см; OK = 2 см
KC² = OC² - OK² = (2√2)² - 2² = 8-4 = 4 ⇒ KC = 2 см ⇒
ΔOKC - прямоугольный равнобедренный
ΔMOC ~ ΔOKC по двум углам: прямому и общему острому ∠OCM ⇒
ΔMOC - прямоугольный равнобедренный ⇒
OM = OC = 2√2 см: MK = KC = 2 см ⇒ MC = 2*2 = 4 см
Так как пирамида правильная, то MD = MC = 4 см ⇒
ΔCMD - равносторонний : MD = MC = 4 см = CD ⇒
Угол при вершине пирамиды равен 180°/3 = 60°
В равностороннем треугольнике медиана DK - она же высота ⇒
DK⊥MC. Аналогично BK⊥MC ⇒
Угол между смежными боковыми гранями равен углу BKD
DK = DC*sin 60° = 4 * √3/2 = 2√3 см
ΔBKD : BD = 4√2 см; DK = BK = 2√3 см
Теорема косинусов
BD² = BK² + DK² - 2BK*DK*cos ∠BKD
(4√2)² = (2√3)² + (2√3)² - 2 * 2√3 * 2√3 * cos∠BKD
32 = 24 - 24*cos∠BKD
24cos∠BKD = -8
cos∠BKD = -1/3
∠BKD = arccos (-1/3) ≈ 109,5°
ΔFMO: ∠FOM=90°; OM = 2√2 см; MF = 2√3 см
sin∠MFO = OM / MF = 2√2 / (2√3)= \sqrt{ \frac{2}{3} }32
∠MFO = arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°
MF⊥AD и OF⊥AD ⇒
∠MFO - угол между боковой гранью и гранью основания
ответ: угол при вершине 60°;
угол между смежными боковыми гранями arccos (-1/3) ≈ 109,5°;
угол между боковой гранью и гранью основания равен
arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°
конус
l (ВМ) = 6 см (образующая)
∠ВМО = 30°
Найти:S осн - ?
Решение:Осевое сечение конуса (секущая проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота Н (МО) разделяет этот треугольник на два прямоугольных треугольника.
sin(1/2 * 30˚) = R/l
sin(15˚) = R/6
sin(45˚ - 30˚) = R/6
sin(45˚) cos(30˚) - cos(45˚) sin(30˚) = R/6
(√2/3) * (√3/2) - (√2/2) * 1/2 = R/6
(√6/4) - (√2/4) = R/6
((√6) - (√2)) * 6 = 4R
(6√6) - (6√2) = 4R
4R= 6√6 - 6√2
R = (3√6) - (3√2)/2
Итак, ВО (R) = (3√6) - (3√2)/2
S осн = пR²
S осн = п((3√6) - (3√2)/2)² = 18 - 9√3п см²
ответ: 18 - 9√3п см²
H=l·sin30=12/2=6
R=l·cos30=(√3/2)·12=6√3
V(конуса)=(1/3)πR²H=216π