Question

Впрямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие - на катетах. а) докажите, что центр квадрата лежит на биссектрисе прямого угла треугольника. б) радиус окружности, описанной около треугольника, относится к стороне квадрата как 13: 6. найдите углы треугольника.

Answer 1

В прямоугольный ΔАВС вписан квадрат КНМЕ (КН=НМ=ЕМ=КЕ) так, что две его вершины Н и М лежат на гипотенузе АВ, а две другие К и Е - на катетах АС и ВС соответственно.
а) Цент квадрата О - это точка пересечения диагоналей квадрата КМ и НЕ. Т.к. диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам, то <КОЕ=90°, КО=ОЕ.
По условию <АСВ=90°, значит отрезок КЕ виден из точек С и О под прямым углом, следовательно точки С и О лежат на окружности диаметра КЕ. Вписанные углы КCO и ЕCO опираются на равные дуги этой окружности КО и ОЕ, значит они равны, а СО - биссектриса угла ACB, что и требовалось доказать.
б) Из прямоугольного ΔВЕМ найдем ВМ=ЕМ/tg АBС.
Из прямоугольного ΔКАН найдем АН=КН*tg АВС (углы АКН и АВС равны, т.к. <АКН=90-<САВ и <АВС=90-<САВ).
Гипотенуза АВ=АН+НМ+ВМ=КН*tg АВС+НМ+ЕМ/tg АBС=НМ(tg АВС+1+1/tg АВС).
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, значит АВ=2R
По условию R/НМ=13/6
2R=НМ(tg АВС+1+1/tg АВС).
2R/НМ=(tg АВС+1+1/tg АВС).
tg АВС+1+1/tg АВС=13/3
3tg² АВС+3tg АВС+3=13tg АВС
3tg² АВС-10tg АВС+3=0
D=100-36=64
tg АВС=(10+8)/6=3
tg АВС=(10-8)/6=1/3
Значит углы треугольника равны arctg 3 и arctg 1/3