Треугольник ABC, Медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Если продлить медиану AA1 за точку A1 (середину стороны BC) на расстояние, равное A1O, и полученную точку A2 (A1A2 = A1O) соединить с точками B и C, то фигура BOCA2 - параллелограмм (диагонали его делятся пополам в точке пересечения). Поэтому BA2 = CO. Таким образом, треугольник BOA2 имеет стороны, равные 2/3 от длин медиан (не важно, какая именно медиана равна 3, какая 4, и какая 5). Площадь этого треугольника BOA2 равна площади "египетского" треугольника со сторонами 3,4,5, умноженной на (2/3)^2; то есть Sboa2 = (3*4/2)*(4/9) = 8/3; С другой стороны, площадь этого треугольника равна 1/3 площади треугольника ABC, потому что медианы делят треугольник на шесть треугольников равной площади, а площадь треугольника BOA2 равна площади треугольника BOC - и там и там половина площади параллелограмма BOCA2. Поэтому площадь ABC равна 8.
Нужно делить на СООТВЕТСТВУЮЩУЮ сторону треугольника. Если дано, что треугольники АВС и ОРТ, подобны, то вначале надо определить какие стороны являются соответствующими (и то же самое с углами: соответствующие углы у подобных треугольников равны). Как правило в учебниках, при записи подобных треугольников соответствие определяется по положению буквы в записи треугольника. Хотя, в новых учебниках это явно не сказано. Например, если сказано, что треугольники АВС и ОРТ подобны, то подразумевается, что угол А равен углу О, угол В равен Р, и С равен Т. И тогда стороне АВ соответствует сторона ОР, стороне ВС соответствует РТ и стороне АС соответствует OТ. Т.е. при такой записи, будет AB/OP=BC/PT=AC/OT. И в вашей задаче, если AB=8, то чтобы определить коэффициент подобия, надо знать длину именно ОР. И если сказано, что она 4, то да, треугольник ABC подобен треугольнику ОРТ с коэффициентом подобия 2.
Параллельные прямые, которые исходят из точек С, Р и К перпендикулярны к прямой С1К1. Проведем CN, NP1,C1M, ML так, что CMPN и MLK1C1 - прямоугольники. Из условия СС1 = 3 см, РР1 = 5 см. Поскольку СС1Р1N - прямоугольник (три угла равны 90 градусов), то CC1 = NP1 = 3 см. Аналогично из прямоугольника MPP1C1: MC1 = PP1 = 5 см, из прямоугольника MLK1C1: МС1 = LK1 = 5 см. CM = NP = NP1 + P1P, CM = 3 + 5 = 8 см. Рассмотрим треугольники CMP и KLP: СР = РК по условию, <MPC = <KPL как вертикальные, <CMP = <KLP = 90 градусов. Следовательно, треугольника CMP и KLP равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Исходя из равенства треугольников, CM = KL = 5 см. KK1 = KL + LK1. Имеем: KK1 = 8 + 5 = 13 см. ответ: 13 см.
Таким образом, треугольник BOA2 имеет стороны, равные 2/3 от длин медиан (не важно, какая именно медиана равна 3, какая 4, и какая 5). Площадь этого треугольника BOA2 равна площади "египетского" треугольника со сторонами 3,4,5, умноженной на (2/3)^2; то есть Sboa2 = (3*4/2)*(4/9) = 8/3;
С другой стороны, площадь этого треугольника равна 1/3 площади треугольника ABC, потому что медианы делят треугольник на шесть треугольников равной площади, а площадь треугольника BOA2 равна площади треугольника BOC - и там и там половина площади параллелограмма BOCA2.
Поэтому площадь ABC равна 8.