Первое неравенство получается совсем просто. Оно вытекает из того, что медиана меньше полусуммы сторон между которыми он поведена ( доказывается так : достраиваем треугольник до параллелограмма, где эта удвоенная медиана - диагональ и факт вытекает из неравенства треугольника). Пишем эти неравенства для всех медиан. складываем их и получаем искомое утверждение. Второе неравенство доказывается так . Пусть стороны треугольника а, в,с. Медианы м1 - проведена к а,м2 - к в и м3 к с. Тогда, очевидно ( м1+м2)*(2/3) больше в (м1+м3)*(2/3) больше а (м2+м3)*(2/3) больше с складывая , получим (4/3) *(м1+м2+м3) больше (а+в+с), что и требуется.
Tg C = √3 / √6 = √(3/6) = 1 / √2. Через этот тангенс находим синус С = tg C / (+-√(1+tg²C)) = 1 /(√2*(1+(1/2))) = 1 / √3. Высота в прямоугольном треугольнике АВС равна ha = √6*sin C = = √6*(1 / √3) = √2. Расстояние от точки S до ВС - это гипотенуза треугольника, где один катет SA = 2 см, а второй - высота ha = √2. Отсюда искомое расстояние от точки S до ВС = √(2²+(√2)²) = √6 = = 2,44949 см. Высоту ha можно было найти по другой формуле: ha =2√(p(p-a)(p-b)(p-c)) / a. Для этого надо найти диагональ А = √((√3)²+(√6)²) = √9 = 3 см. А рисунок к этой задаче очень прост - сначала вычертить план треугольника и высоту к гипотенузе, а затем вертикальную плоскость с отрезком SA и высотой ha.
Все ребра треугольной призмы равны. Найдите площадь основания призмы, если площадь ее полной поверхности равна 8+16√ 3
Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Пусть ребро призмы равно а. Грани - квадраты, их 3. S бок=3а² S двух осн.=( 2 а²√3):4=( а²√3):2 По условию 3а²+(а²√3):2=8+16√3 Умножим обе стороны уравнения на 2 и вынесем а² за скобки: а²(6+√3)=16+32√3)=16(1+2√3) а²=16(1+2√3):(6+√3) Подставим значение а² в формулу площади правильного треугольника: S=[16*(1+2√3):(6+√3)]*√3:4 S=4(√3+6):(6+√3)=4 (ед. площади)
Думаю, решение понятно. Перенести решение на листок для Вас не составит труда.
Второе неравенство доказывается так . Пусть стороны треугольника а, в,с.
Медианы м1 - проведена к а,м2 - к в и м3 к с.
Тогда, очевидно ( м1+м2)*(2/3) больше в
(м1+м3)*(2/3) больше а
(м2+м3)*(2/3) больше с
складывая , получим
(4/3) *(м1+м2+м3) больше (а+в+с), что и требуется.