ерез три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плосксть, притом только одну. Отсюда следует, что, так как вершина В треугольника не лежит в плоскости α, то плоскость треугольника не лежит в плоскости α, и его средняяо линия не лежит в той плоскости.
Пусть М делит пополам сторону АВ, а N- делит пополам сторону ВС
Отрезок MN-, соединяющий середины сторон треугольника, является его средней линией.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. (свойство средней линии)
По теореме о параллельности прямой и плоскости:
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
MN не лежит в плоскости α и параллельна АС, лежащей в плоскости α. Значит, MN || α, что и требовалось доказать.
Объяснение:
1)На рисунке АВ || CD. а) Докажите, что АО : ОС = ВО : OD. б) Найдите АВ, если OD = 15 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см.
ответ или *решение1*
Дано:
АВ||CD
OD=15 см
ОВ=9 см
CD=25 см.
Доказать:
АО:ОС=ВО:OD
Найти:
АВ=?
Сначала докажем подобие треугольника: в АВО и DCO.
∠AOB=∠DOC как вертикальные.
∠СDO=∠ABO и ∠DCO=∠BAO как накрест лежащие.
Следовательно, ΔАОВ подобен ΔDOC (по трем углам).
Тогда, соответствующие стороны пропорциональны.
АО/ОС=ВО/OD
ЧТД
АВ/DC=ОВ/ОD
АВ=ОВ/ОD*DC=9/15*25=9*5/3=15 см
АВ=15 см.
ответ: АВ=15 см.
2)
Найдите отношение площадей треугольников ABC,KMN,если АВ = 8см, ВС= 12см,АС= 16 см,КМ=10см,MN=15см,NK=20см
ответ или решение1
Калашников Глеб
Дано: треугольники АВС и KMN,
АВ = 8 см,
ВС= 12см,
АС= 16 см,
КМ = 10 см,
MN =15 см,
NK = 20 см.
Найти: отношение площадей треугольников ABC,KMN - ?
Решение: Расматриваем треугольники АВС и KMN. Найдем отношения: АВ/КМ = 8 см/10 см= 4/5, ВС/MN = 12 см/15 см = 4/5, АС/NK = 16 см/20 см = 4/5. Следовательно реугольники АВС и KMN подобны по третьему признаку подобия (по трем пропорциональным сторонам). Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате. Тогда Sавс/Sкмn = (4/5) в квадрате = 16/25.
ответ: 16/25.
3)Треугольники АВС и MBN подобны по двум углам
(угол В- общий; Угол ВМN равен углу ВАС как соответственные при МN||АС и секущей АВ)
Треугольники подобны⇒сходственные стороны пропорциональны
АВ/ВМ=СВ/ВN ⇒AB•BN = СВ•ВМ
Б) АВ=АМ+МВ=6+8=14
МN/АС= ВМ/АВ; МN/21=8/14, МN=21·8/14=12 (см)
ответ МN=12см
2. Треугольники PQR и АВС подобны, т.к. стороны пропорциональны :
16/12=20/15=28/21=4/3
Площади подобных тругольников относятся как квадрат коэффициента подобия, т.е. как (4/3)²=16/9
площадь треугольника PQR относится к площади треугольника ABC
как 16 : 9
4)Видим, что треугольники подобны:
АВ/PQ = BC/QR = AC/PR = 3/4
Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, то есть 9/16.
ответ: 9/16.
Проверим результат, найдя площади каждого из тр-ов.
Найдем площади по формуле Герона:
Для тр АВС: р = (12+15+21)/2 = 24
Для тр PQR: p = (20+28+16)/2 = 32
Теперь находим отношение площадей:
ответ: 9/16.
Пусть ВС = х, тогда АD = x + 4
АМ = (AD - BC) : 2 = (x+4 - x):2 = 4:2 = 2
Рассмотрим ΔABM - прямоугольный. cos<BAM = AM/AB = 2/5
<BAM и <B - односторонние углы || - ых прямых BC и AD при секущей AB. Их сумма равна 180
cos<B = cos(180 - <BAM) = -cos<BAM = -2/5