Введем обозначения: ABC - исходный треугольник с прямым углом C, высотой CN и биссектрисой AL пересекающимися в точке K.
Нетрудно видеть, что прямоугольные треугольники ACL и ANK подобны. И коэффициент подобия по отношению их гипотенуз |AL|/|AK| = (9+6)/9 = 15/9 = 5/3.
Стало быть и их катеты |AC|/|AN| = 5/3. Но прямоугольный треугольник ACN (в котором эти стороны гипотенуза и катет) подобен всему треугольнику ABC в котором стало быть стороны |AB|, |AC| и |CB|относятся как 5:3:4 (4 = корень(5*5-3*3).
Достаточно узнать длину |AC| чтобы найти всю площадь. S = |AC|*|CB|/2 = |AC|*(4/3)*|AC|/2 = (2/3)*|AC|^2
Но |AC| равна 15*cos(A/2), где по формуле косинуса половинного угла cos(A/2) = корень((1+cos(A))/2) = корень((1+3/5)/2) = корень(4/5).
То есть S = (2/3)*(15*корень(4/5))^2 = (2/3)*15*15*(4/5) = 2*4*15 = 120
Объяснение:
Известно, что прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая его другие две стороны,отсекает от него треугольник подобный данному.
Значит ΔАДО подобен ΔАЕК: АД/АЕ=АО/АК
Т.к. АО/ОК=2/3, то АК=5АО/2
АД/АЕ=2/5
АЕ=5АД/2
АЕ=АД+ДЕ, откуда ДЕ=АЕ-АД=5АД/2-АД=3АД/2
ΔСЕК подобен ΔСДВ: СЕ/СД=СК/СВ
Т.к. СК/ВК=3/4, то ВК=7СК/3
СЕ/СД=3/7
СЕ=3СД/7
СД=ДЕ+СЕ, откуда ДЕ=СД-СЕ=СД-3СД/7=4СД/7
3АД/2=4СД/7
АД/СД=8/21