Question

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых напрямую равны 12см и 30 см. найдите эти наклонные, если их длины относятся как 10: 17. ! ​

Answer 1

Для решения данной задачи воспользуемся построением.

1. Нарисуем оси координат, где ось X будет горизонтальной прямой, а ось Y - вертикальной прямой. Точка к будем считать исходной точкой, из которой проводятся наклонные.

2. Построим прямую AB, где точка A - точка к, а точка B - точка на прямой, которую пересекают две наклонные. Проведем перпендикуляры AP и BQ из точек A и B соответственно.

3. Обозначим длину наклонной, проекция которой равна 12 см, через x. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АПВ получаем: 12^2 + (x - 30)^2 = AB^2.

4. Обозначим длину наклонной, проекция которой равна 30 см, через y. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике БQВ получаем: 30^2 + (y - 12)^2 = AB^2.

5. Имеем систему уравнений:
12^2 + (x - 30)^2 = AB^2 ........ (1)
30^2 + (y - 12)^2 = AB^2 ........ (2)

6. Также по условию задачи известно, что длины наклонных относятся как 10:17. То есть x/y = 10/17.

7. Подставим выражение для AB^2 из первого уравнения во второе уравнение и преобразуем его:
30^2 + (y - 12)^2 = (12^2 + (x - 30)^2)
900 + y^2 - 24y + 144 = 144 + x^2 - 60x + 900
y^2 - 24y = x^2 - 60x
y^2 - x^2 = 24y - 60x
(y - x)(y + x) = 24(y - 2x)

8. Разделим обе части полученного равенства на y - 2x:
(y + x) = 24

9. Подставим x/y = 10/17 в полученное равенство:
(17x + 10x)/(17 + 10) = 24
27x/27 = 24
x = 24

10. Подставим найденное значение x в уравнение x/y = 10/17 и найдем y:
24/y = 10/17
17x = 10y
17 * 24 = 10y
y = 40.8

Таким образом, длины наклонных равны x = 24 см и y = 40.8 см.