90°, 20°, 70°
Объяснение:
Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, составляет 180°. Поэтому, если ∠А=140°, то ∠В=180-140=40°.
Найдем ∠АОВ, ∠АВО и ∠ОАВ.
Рассмотрим ΔАОВ - прямоугольный, ∠АОВ=90°, ∠АВО=40:2=20°, ∠ОАВ=140:2=70°.
1) если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма его противолежащих углов = 180 град. ∠Р и ∠Н являются противолежащими. получим, что ∠Н= 180- ∠Р= 180-120=60град.
2) проведем высоту КА. рассмотрим ΔКАН:
а) треуг прямоуг, тк ∠А= 90 град( высота)
б) по тригонометрическим формулам в прямоуг. треуг. катет= гипотенуза* cos прилежащего угла. АН= 6*cos 60= 6*1\2=3см
в) по тригонометрическим формулам КА= 6*sin противолежащего угла= 6*sin 60=6*√3\2= 3√3см
3) рассмотрим ΔМКА
а) треуг прямоуг (высота)
б) по теореме катет, лежащий против угла в 30 град, равен половине гипотенузы. получим, что МК= 3√3*2=6√3см
4) залезем в ΔМКН .мы можем сказать, что этот треуг вписан в окружность. если мы применим теорему синусов в этом треуг, по найдем радиус. итак, теорема синусов: 2R=а\sinА, где а- сторона треуг, а ∠а- противолежащий угол для этой стороны. 2R=МК\sin 60=6√3: √3\2=6√3*2\√3=12. 2R=12. тогда R= 12\2=6см
ответ:6
1) Первый пункт задачи должен быть сформулирован так:
докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.
Воспользуемся теоремой: через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и при том только одну.
Даны две пересекающиеся прямые АС и ВD. Проходящую через них плоскость обозначим α.
Прямая АС лежит в плоскости α, значит А∈α и В∈α.
Прямая ВD лежит в плоскости α, значит В∈α и D∈α.
Точки А, В, С, D принадлежат плоскости α, т.е. все вершины четырехугольника АВСD принадлежат плоскости α.
Что и требовалось доказать.
2) Рисунок к задаче прикреплен. Дан четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и известны длины этих диагоналей (смотри рисунок).
Воспользуемся формулой для вычисления площади четырехугольника по двум диагоналям и углу между ними.
, где 
– диагонали четырехугольника, 
– угол между диагоналями.
ответ: площадь АВСD равна 60 см².
Диагонали ромба являются биссектрисами и пересекаются под прямым углом. Треугольник AOB - прямоугольный с углом A/2.
AOB=90
BAO=A/2 =140/2=70
ABO=90-BAO =90-70=20