Поскольку отрезок DE (параллельный плоскости альфа) лежит в плоскости треугольника АВС, а плоскость треугольника АВС пересекает плоскость альфа по прямой ВС, значит, линия пересечения плоскостей (линия ВС) параллельна DE. Т.е. DE и ВС параллельны. Отсюда следует, что треугольники АВС и АДЕ – подобны, т.к. отрезок, параллельный стороне треугольника, отсекает треугольник подобный данному. АВ = АД + ДВ = 9 + 2 = 11 условных единиц. Из подобия указанных треугольников можно записать ВС/ДЕ = АВ/АД. Отсюда ВС= АВ*ДЕ/АД = 11*7/9 =77/9 см.
Смотрите рисунок. Продолжим стороны АВ и ДС до их пересечения между собой получим точку М. Поскольку биссектриса <А перпендикулярна СД, то она – биссектриса перпендикулярна и ДМ. Следовательно, треугольник АДМ - равнобедренный. И АД = АМ. Впрочем, это не важно. Но раз треугольник АДМ равнобедренный, а АЕ перпендикуляр на ДМ, то ДЕ = МЕ = 5. Тогда МС = МЕ-СЕ = 5 – 1 = 4. Следовательно, МД = МС + СЕ + ЕД = 4 + 1 + 5 = 10. Поскольку АД и ВС параллельны между собой, то треугольники ВМС и АМД - подобны. Из подобия этих треугольников вытекает, что АД/ВС = МД/МС = 10/4 = 5/2
Дано
трап. ABCD
AB=10 см
BC=8 см
CD=12 см
угол A=60
угол D=45
Найти
MN - сред. линия
Решение
Проведем высоты BH и CK
BH=CK и BC=HK=8см
Рассм. ABH - угол Н=90, угол A=60 след-но угол B=30
катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы - AH=5 см
По т. Пифагора BH=√100-25=√75=5√3 см
Рассм. CKD, угол D=45, угол K=90 след-но угол С=45
треугольник прямоугольный равнобедренный CK=KD=5√3 см
AD=AH+HK+KD = 5+8+5√3=18√3 см
MN=1/2(a+b)
MN=1/2(8+18√3)=1/2*26√3=13√3 см
ответ. средняя линия равна 13√3 см