Question

Прямоугольный треугольник с катетами 3 см. и √3 см., вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. найти объем фигуры вращения.

Answer 1

ΔABC - прямоугольный - ∠C = 90°; AC = 3 см; BC = √3 см
Теорема Пифагора
AB² = AC² + BC² = 3² + (√3)² = 12
AB = √12 = 2√3 см

Прямоугольный треугольник вращается вокруг гипотенузы AB. Получилась фигура, состоящая из двух конусов, имеющих общее основание с центром О и радиусом R = CO.
CO - высота прямоугольного треугольника ΔABC - по формуле
$CO= \frac{AC*BC}{AB}= \frac{3* \sqrt{3} }{2 \sqrt{3} } =1,5$ см
R = 1,5 см

Объём верхнего конуса   $V_1= \frac{1}{3} *\pi R^2*AO$
Объём нижнего конуса    $V_2= \frac{1}{3} *\pi R^2*BO$
Объём всей фигуры вращения
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3} *\pi R^2*AO + \frac{1}{3} *\pi R^2*BO= \\ \\ =\frac{1}{3} *\pi R^2*(AO+BO)=\frac{1}{3} *\pi R^2*AB= \\ \\ = \frac{1}{3} *\pi*1,5^2*2 \sqrt{3} =1,5\pi \sqrt{3}$

V = 1,5π√3 см³ ≈  8,2 см³