Question

Основание прямой призмы-прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом альфа.диагональ боковой грани, содержащей катет,противолежащий углу альфа, наклонена к пл-сти основания под углом бета.найдите объём призмы. !

Answer 1

Пусть $ABCA_1B_1C_1$  - данная пряммая призма с основанием ABC (прямоугольным треугольником с пряммым углом С), AB=c, угол $B=\alpha$;

угол $A_1CA=\beta$

Катеты треугольника АВС равны

$b=AC=AB*sin B=c*sin \alpha;\\a=BC=AB*cos B=c*cos \alpha$

Высота призмы равна $h=AA_1=AC *tg (A_1CA)=c*sin \alpha * tg \beta;$

Площадь основания равна

$S=\frac{ab}{2}=\frac{c*sin \alpha *c*cos \alpha}{2}=\frac{c^2*2sin \alpha *cos \alpha}{4}=\frac{c^2*sin(2\alpha)}{4}$

Обьем призмы равен

$V=Sh=\frac{c^2*sin(2\alpha)}{4} * c*sin \alpha * tg \beta=\frac{c^3*sin(2\alpha)sin \alpha *tg \beta}{4}$