Из вершины Д проведём перепендикуляр на ВС, получили прямоугольный треугольник с острым углом С=30 градусов. Против этого угла лежит катет, равный половине СД, т.е. 7 корней из 3 делёное на 2. Теперь проведём перепендикуляр из вершины В к прямой АД, получили прямоугольный треугольник АВК с углом В, равным 30 градусов и катет ВК, прилежащий к этому углу равен 7 корней из 3 делёное на 2. Катет этого треугольника, лежащий против угла в 30 градусов (АК) обозначим за х, а гипотенузу АВ за 2х. Теперь по теореме Пифагора: АВ квадрат - АК квадрат = ВК квадрат. х=3,5 - это АК. Теперь АВ = 3,5*2=7. ответ: 7.
1) Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точки К, М и В1. Эта плоскость делит ребро куба АА1 в точке Е. КМ - средняя линия треугольника АDC, следовательно ОР=(1/2)*OD. Тогда ВР=(3/2)*OD. Значит ОР/ВР=1/3. Итак, треугольник ОРК подобен треугольнику ВРВ1 с коэффициентом подобия 1/3. Тогда ОК=(1/3)*ВВ1. А поскольку АА1=ВВ1, а ОК=АЕ, имеем отношение АЕ:ЕА1=1:3. ответ: плоскость, проходящая чрез точки В1 К и М, делит ребро АА1 в отношении 1:3, считая от вершины А.
2) Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, E и F. Этой плоскости также принадлежит и точка К, лежащая на середине прямой EF, принадлежащей плоскости ВEF. Проекция этой точки лежит на пересечении диагоналей основания куба, а расстояние от точки К до плоскости основания равно половине стороны куба. Следовательно, точка К является центром куба и лежит на пересечении диагоналей куба. Через любые две не совпадающие точки можно провести единственную прямую. Значит прямая ВК совпадает с диагональю куба и точка D1, принадлежащая этой диагонали, принадлежит и плоскости BEF. Значит сечение куба BEFD1 является квадратом и имеет четыре стороны. ответ: число сторон сечения плоскостью, которая определяется точками B, E и F, равно 4.
ответ: 7.