Окружности радиусов 15 и 21 касаются внешним образом. точеи а и в лежат на первой окружности, точки с и д на второй. при этом ас и вд общие качательные окружностей. найдите расстояние между прямыми ав и сд
Окружности радиусов 15 и 21 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение таких задач почти однотипно.
Искомое расстояние - длина перпендикуляра ВН, опущенного из В на СD.
AB и CD - хорды, перпендикулярны прямой ОО1, содержащей диаметры окружностей.
AB||CD
Пусть центр меньшей окружности - О, большей - О1.
Проведем радиусы r и R в точки касания.
Проведем к О1D отрезок ОК||BD.
Т.к. r||R, и оба перпендикулярны ВD, то ОКВD- прямоугольник.
ОK=BD
О1К=R-r=21-15=6
OO1=R+r=21+15=36
Из ∆ OКО1 по т.Пифагора
OК=√(36²-6²)=√1260=6√35
∠HBD=∠KOO1- их стороны взаимно параллельны.
∆ OKO1 ~ ∆ BHD
cos∠KOO1=OK/OO1
cos∠HBD=cos∠KOO1=(√35):6
BH=BD•cos∠HBD=(6√35)•(√35):6=35 (ед. длины) это искомое расстояние.
Проведем высоту BH S=(AD+BC)* 1/2*ВH. Рассмотрим треугольник АВН. угол А=60 АВ=16, угол ВНА=90. Значит треугольник АВН-прямоугольный угол А+угол АВН=90 градусов( свойство острых углов прямоугльного треугольника) угол АВН=90-60=30 градусов АН=1/2АВ(Свойство катета лежавшего напротив угла в 30 градусов) АН=8 Проведем высоту СN (Там все точно такое же как и в первом треугольнике ) DN=8 Найдем НN HN=AD-(BH+HN) HN=4 Рассмотрим прямоугольник HBCN HN=BC=4 Найдем высоту BH AB=BH+AH каждая сторона в квадрате(теорема Пифагора) BH=AB-AH( каждая сторона в квадрате BH=256-64=192 BH= корень из92=8кореньиз 3 S=(20+4)*1/28* 8 корень из 3=96кореньиз 3
Проведем высоту BH S=(AD+BC)* 1/2*ВH. Рассмотрим треугольник АВН. угол А=60 АВ=16, угол ВНА=90. Значит треугольник АВН-прямоугольный угол А+угол АВН=90 градусов( свойство острых углов прямоугльного треугольника) угол АВН=90-60=30 градусов АН=1/2АВ(Свойство катета лежавшего напротив угла в 30 градусов) АН=8 Проведем высоту СN (Там все точно такое же как и в первом треугольнике ) DN=8 Найдем НN HN=AD-(BH+HN) HN=4 Рассмотрим прямоугольник HBCN HN=BC=4 Найдем высоту BH AB=BH+AH каждая сторона в квадрате(теорема Пифагора) BH=AB-AH( каждая сторона в квадрате BH=256-64=192 BH= корень из92=8кореньиз 3 S=(20+4)*1/28* 8 корень из 3=96кореньиз 3
Окружности радиусов 15 и 21 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение таких задач почти однотипно.
Искомое расстояние - длина перпендикуляра ВН, опущенного из В на СD.
AB и CD - хорды, перпендикулярны прямой ОО1, содержащей диаметры окружностей.
AB||CD
Пусть центр меньшей окружности - О, большей - О1.
Проведем радиусы r и R в точки касания.
Проведем к О1D отрезок ОК||BD.
Т.к. r||R, и оба перпендикулярны ВD, то ОКВD- прямоугольник.
ОK=BD
О1К=R-r=21-15=6
OO1=R+r=21+15=36
Из ∆ OКО1 по т.Пифагора
OК=√(36²-6²)=√1260=6√35
∠HBD=∠KOO1- их стороны взаимно параллельны.
∆ OKO1 ~ ∆ BHD
cos∠KOO1=OK/OO1
cos∠HBD=cos∠KOO1=(√35):6
BH=BD•cos∠HBD=(6√35)•(√35):6=35 (ед. длины) это искомое расстояние.