Question

30 ! в правильный треугольник площадью 36√3 дм² вписан круг. найти площадь правильного шестиугольника,вписанного в этот круг.

Answer 1

Более компактное решение.

для этого воспользуемся парой формул

S правильного треугольника= 3√3*r²

где r- радиус вписаной окружности

Из формулы найдем радиус

3√3*r²=36√3

r²=12

Теперь Зная, что сторона Вписанного в окружность Правильного шестиугольника равна радиусу данной окружности, вспомним еще одну формулу

S правильного шестиугольника = (3√3*a²)/2 , где a²=r²

Найдем площадь шестиугольника

S=(3√3*12)/2=3*6*√3=18√3

Answer 2

Построим высоту правильного треугольника BH, в который вписана окружность

AH = AC/2 (высота в правильном треугольнике является его медианой, т. е. делит сторону на две равные части)

Рассмотрим ΔABH - прямоугольный

AH = AC/2 = AB/2 (в правильном треугольнике все стороны равны)

По теореме Пифагора выразим катет BH

$\displaystyle\tt BH=\sqrt{AB^2-\Big(\frac{AB}{2}\Big)^2} =\sqrt{AB^2-\frac{AB^2}{4}}=\\\\\\=\sqrt{\frac{4AB^2-AB^2}{4}}=\sqrt{\frac{3AB^2}{4}} =\frac{AB\sqrt{3}}{2}$

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне

$\displaystyle\tt S=\frac{1}{2} \cdot AB\cdot\frac{AB\sqrt{3}}{2}\\\\\\36\sqrt{3} =\frac{AB^2\sqrt{3}}{4}\\\\AB^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}\cdot4\\\\AB^2\sqrt{3}=144\sqrt{3}\\\\\\AB^2=\frac{144\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=144\\\\AB=\sqrt{144}=12~dm$

Найдем радиус описанной окружности около правильного треугольника, чтобы далее найти радиус вписанной. Для этого используем формулу:

a₃ = R√3, где a₃ - сторона правильного треугольника, R - радиус описанной окружности

Подставляем

12 = R√3

$\displaystyle\tt R=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} =\frac{12\sqrt{3} }{3} =4\sqrt{3} ~dm$

Найдем радиус вписанной окружности, используя формулу

$\displaystyle\tt r=Rcos\frac{180^\circ}{n}$

где r - радиус вписанной окружности в правильный n-угольник, R - радиус описанной окружности около правильного n-угольника, n - число углов правильного треугольника (у нас правильный треугольник)

Подставляем

$\displaystyle\tt r=4\sqrt{3}\cdot cos\frac{180^\circ}{3} =4\sqrt{3} \cdot\frac{1}{2} =2\sqrt{3} ~dm$

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, является радиусом описанной окружности около правильного шестиугольника (R₂)

Формула для стороны правильного шестиугольника через радиус описанной около него окружности:

a₆ = R, где a₆ - сторона правильного шестиугольника, R - радиус описанной около него окружности

Подставив, получаем

a₆ = 2√3 дм

Найдем периметр правильного шестиугольника:

P = 2√3 * 6 = 12√3 дм

Найдем радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник по той же формуле через радиус описанной окружности

$\displaystyle\tt r=Rcos\frac{180^\circ}{n}\\\\\\r=2\sqrt{3}\cdot cos\frac{180^\circ}{6}=2\sqrt{3} \cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{6}{2} =3~dm$

Существует формула для нахождения площади правильного n-угольника:

$\displaystyle\tt S=\frac{1}{2}Pr$

где S - его площадь, P - его периметр, r - радиус вписанной в него окружности

Подставляем

$\displaystyle\tt S=\frac{12\sqrt{3}\cdot3}{2}=\frac{36\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}~dm^2$

ответ: S = 18√3 дм²