Question

Решить , , заранее cередина диагонали ac четырехугольника abcd, вписанного в окружность,лежит на диагонали bd . доказать , что ab^2+bc^2+cd^2+da^2=2bd^2

Answer 1

 так как четырехугольник вписанный , то по теореме косинусов                        $BD^2 = AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosa \\ BD^2 = BC^2+CD^2+2*BC*CD*cosa \\$ 
 Положим что точка пересечения диагоналей есть точка $O$          
откуда из подобия треугольников $\Delta BOC ; \Delta AOD$               
 $\frac{BO}{OC} = \frac{AB}{CD} \\ \frac{BO}{OC} = \frac{BC}{AD} \\ AB*AD=BC*CD$ 
 откуда сложим первые два выражения          
 $AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=2BD^2$