Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.
Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной, если треугольник – то треугольной. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:
Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.
Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.
Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:
Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.
Дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.
Пусть сторона параллелограмма на АВ равна х, вторая у.
Остаток стороны АВ равен 4 - х.
Из подобия треугольников запишем: (4 - х)/у = 4/10 = 2/5.
Отсюда получаем зависимость сторон х и у: 2у = 20 - 5х,
Сократим на 2: у = 10 - 2,5х.
Высота параллелограмма равна х*sin 30° = x /2.
Получаем зависимость площади параллелограмма от переменной х:
S = (x/2)*y = (x/2)*( 10 - 2,5х) = 5x - 1,25x².
Производная этой функции равна: y' = 5 - 2,5x.
Приравняем нулю: 5 - 2,5х = 0.
Отсюда х = 5/2,5 = 2. Это точка экстремуму.
Определим знаки производной левее и правее этой точки для определения характера экстремума.
х = 1,5 2 2,5
y' = 1,25 0 -1,25 .
Как видим, в точке х = 2 максимум (переход с + на -).
ответ: S = 5x - 1,25x² = 5*2 - 1,25*4 = 10 - 5 = 5 кв.ед.