Заранее .найдите радиус окружности, описанной около трапеции авсд (ав//сд), если ас = 20 см, а один из углов трапеции равно 120 градусов . нужно расписать решение
Трапеция, вписанная в окружность, всегда равнобедренная. Окружность, описанная возле трапеции, также описана и около треугольника АВС и около треугольника АСD. Радиус описанной окружности найдем по теореме синусов: 20: 2sin120° = 20√3/3 cм.
"один из углов" 120° ---это угол при меньшем основании трапеции, т.е. это вписанный угол АВС, опирающийся на дугу АDС, градусная мера которой получится 120*2 = 240° АС --диагональ трапеции, если провести радиусы ОА и ОС, получится треугольник с центральным углом АОС, опирающимся на дугу АВС --оставшуюся часть окружности, градусная мера которой 360-240 = 120° т.е. угол АОС = 120° и ΔАОС (равнобедренный по построению) с углами при основании по 30°... cos30° = 10 / R радиус = 10 / (√3/2) = 20 / √3
Проведите биссектрису угла α и биссектрису угла при вершине равнобедренного Δ.Рассмотрите прямоугольный Δ, который образовался пересечением биссектрис. Его острый угол α/2, а противолежащий катет r, прилежащий катет -- половина основания. rctgα/2 -- половина основания. 2rctgα/2 -- всё основание. Рассмотрите Δпрямоугольный, у которого катеты половина основания и биссектриса, проведённая к основанию, а гипотенуза -- боковая сторона. По соотношению между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (2rctgα/2)/cosα -- боковая сторона R=(rctgα/2)/(cosαsinα)
Как известно, в равнобедренном треугольнике попарно равны боковые стороны и углы при основании. Доказательство будем строить именно на этом.
Предположим, что тр-к ABC - равнобедренный
1) Проведём высоту AK к основанию BC. По св-ву равнобедр. тр., она будет также медианой и биссектрисой. Значит, тр-ки ABK b ACK будут равны по стороне и двум прилежащим углам (половины основания, углы при основании и два прямых угла).
2) Проведём высоты BM и CH к сторонам АС и АВ соответственно. Три высоты пересекутсся в точке О, и все они будут делиться по соотношению 2:1, считая от вершин. В 1 действии мы доказали, что тр. ABK и ACK равны. Значит, если высоты пересекаются в одной точке , лежащей на общей стороне AK этих двух треугольников, то отрезки высот - BO-OM и CO-OH будут равны (т.к. не смещена линия симметрии): BO=CO OM=OH
Если равны все отрезки высот, то буду равны и целые высоты: BM = CH, чтд.
Окружность, описанная возле трапеции, также описана и около треугольника АВС и около треугольника АСD.
Радиус описанной окружности найдем по теореме синусов:
20: 2sin120° = 20√3/3 cм.
ответ: 20√3/3 см.