Question

Втреугольнику авс медиана ам в четыре раза меньше стороны ав и образует с ней угол 60 градусов.найдите угол мас

Answer 1

Положим что $AB=4x \ AM=x \\$ , и по теореме косинусов                         
$BM=\sqrt{(4x)^2+x^2 - 2*x*4x*cos60а } = x \sqrt{13} \\ \frac{x}{sin\angle ABM } = \frac{ \sqrt{13} x}{ sin60а } \\ sin\angle ABM = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\\$                  
По теореме косинусов , найдем третью сторону                                      
 $AC = \sqrt{(4x)^2 + (2\sqrt{13}x)^2 - 2*4x * (2*\sqrt{13}x) * \sqrt{1-\frac{3}{4*13}}} = \\ AC = \sqrt{ 68x^2-56x^2 } = 2\sqrt{2}x$               
$S_{ABC} = \frac{AB*AM * sin60 + AM*AC*sin \ \angle MAC }{2} \\ S_{ABC} = \frac{AB*2BM*sin \angle ABC }{2} \\$             
Подставляя найденные значения получим    
 $\frac{ 4x^2*sin60а+x*\sqrt{12}x * sin \angle MAC}{2} = \frac{4x*2x\sqrt{13}* \frac{\sqrt{3}}{ 2 \sqrt{13}}}{2} \\ 2x^2*\sqrt{3}+x^2\sqrt{12}*sin\angle MAC = 4x^2\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3}+\sqrt{12}*sin \angle MAC = 4\sqrt{3} \\ sin \angle MAC = 1 \\ \angle MAC = 90а \\$               

Answer 2

BM=MC , AB =4AM , ∠MAB =60°.

∠MAC -?

Продолжаем медиана AM  на  MD = AM. ABDC параллелограмм:  ∠MAC=∠DAC=∠ADB.  
Из ΔABD  по теореме косинусов :  
BD² =AB² +AD² -2AB*AD*cos∠DAB || AD =2AM=2x, AB=4AM=4x,∠DAB=∠MAB =60°||;
BD² =(4x)² +(2x)² - 2*4x*2x*cos60° = 20x²  - 2*4x*2x*1/2 = 12x².
 Следовательно   AD²+ BD²  =4x²+12x² =16x²  =AB².
По обратной теореме Пифагора следует, что треугольник  ADB прямоугольный :
∠ADB =90°.  
∠MAC =∠ADB = 90°.

ответ: 90°.