Question

Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки: а) а ( 1; -4), в (4; 5), с (3; -2); б) а (3; -7), в (8; -2), с (6; 2).

Answer 1

Уравнение окружности имеет вид:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, где (a; b) - центр окружности, r - ее радиус

а)
Подставляем координаты точек в уравнение:
$\begin{cases} (1-a)^2+(-4-b)^2=r^2 \\ (4-a)^2+(5-b)^2=r^2 \\ (3-a)^2+(-2-b)^2=r^2 \right \end{cases}$
Правые части равны, значит равны и левые части. Приравниваем левые части первого и второго уравнений:
$(1-a)^2+(-4-b)^2=(4-a)^2+(5-b)^2 \\\ (1-a)^2+(4+b)^2=(4-a)^2+(5-b)^2 \\\ 1-2a+a^2+16+8b+b^2=16-8a+a^2+25-10b+b^2 \\\ 1-2a+8b=-8a+25-10b \\\ 6a+18b-24=0 \\\ a+3b-4=0 \\\ \Rightarrow a=4-3b$
Приравниваем левые части второго и третьего уравнений:
$(4-a)^2+(5-b)^2=(3-a)^2+(-2-b)^2 \\\ (4-a)^2+(5-b)^2=(3-a)^2+(2+b)^2 \\\ 16-8a+a^2+25-10b+b^2=9-6a+a^2+4+4b+b^2 \\\ 16-8a+25-10b=9-6a+4+4b \\\ 2a+14b-28=0 \\\ a+7b-14=0$
Подставляем вместо а полученное ранее выражение:
$4-3b+7b-14=0 \\\ 4b=10 \\\ \Rightarrow b=2.5 \\\ \Rightarrow a=4-3\cdot2.5=-3.5 \\\ \Rightarrow r^2=(4-(-3.5))^2+(5-2.5)^2=56.25+6.25=62.5$
Искомое уравнение окружности: $(x+3.5)^2+(y-2.5)^2=62.5$

б)
Подставляем координаты точек в уравнение:
$\begin{cases} (3-a)^2+(-7-b)^2=r^2 \\ (8-a)^2+(-2-b)^2=r^2 \\ (6-a)^2+(2-b)^2=r^2 \right \end{cases}$
Приравниваем левые части первого и второго уравнений:
$(3-a)^2+(-7-b)^2= (8-a)^2+(-2-b)^2 \\\ (3-a)^2+(7+b)^2= (8-a)^2+(2+b)^2 \\\ 9-6a+a^2+49+14b+b^2=64-16a+a^2+4+4b+b^2 \\\ 9-6a+49+14b=64-16a+4+4b \\\ 10a+10b-10=0 \\\ a+b-1=0 \\\ \Rightarrow a=1-b$
Приравниваем левые части второго и третьего уравнений:
$(8-a)^2+(-2-b)^2=(6-a)^2+(2-b)^2 \\\ (8-a)^2+(2+b)^2=(6-a)^2+(2-b)^2 \\\ 64-16a+a^2+4+4b+b^2=36-12a+a^2+4-4b+b^2 \\\ 64-16a+4b=36-12a-4b \\\ 4a-8b-28=0 \\\ a-2b-7=0$
Подставляем вместо а полученное ранее выражение:
$1-b-2b-7=0 \\\ 3b=-6 \\\ \Rightarrow b=-2 \\\ \Rightarrow a=1-(-2)=3 \\\ \Rightarrow r^2=(6-3)^2+(2-(-2))^2=9+16=25$
Искомое уравнение окружности: $(x-3)^2+(y+2)^2=25$