Впрямоугольный треугольник вписан квадрат,один из углов которого совпадает с прямым углом треугольника.сумма длин катетов треугольника равна a,а их произведение равно b.найдите длину стороны квадрата.
Дано: Δ АВС ∠ВАС = 90⁰ АВ + АС = а АВ ∙ АС = в к - сторона квадрата, вписанного в ΔАВС ∠ВАС - общий Найти: к Решение. Площадь (S) ΔАВС = S₁ +S₂ +Sк; S = в/2; Sк = к²; S₁ = кх/2; S₂ = ку/2; S₁+S₂ = (к/2)(х+у) ; АВ+АС = а = х+к+к+у = 2к+(х+у); (х+у) = а - 2к; S₁+S₂ = (к/2)(х+у) = (к/2)(а-2к); в/2 =(к/2)(а-2к) + к²; в/2 = ак/2 – к²+к²; в/2 = ак/2; к = в/а ответ: Сторона квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник равна произведению длин катетов, деленному на их сумму.
АВС - равнобедренный тр-ник, АВ=ВС=40 см, ВМ=4√91 см, АР и СК - биссектрисы. Найти КР. Тр-ки АРС и АКС равны, так как ∠АСК=∠САР, ∠КАС=∠РСА, сторона АС - общая, значит АК= РС, значит КР║АС, значит треугольники АВС и КВР подобны. В прямоугольном тр-ке АВМ АМ²=АВ²-ВМ²=40²-(4√91)²=144, АМ=12 см, АС=2АМ=24 см. Коэффициент подобия тр-ков АВС и КВР равен: k=АВ/КВ. По теореме биссектрис в тр-ке АВС с биссектрисой СК: ВС/АС=КВ/АК ⇒ КВ=ВС·АК/АС. АК=АВ-КВ, значит КВ=ВС(АВ-КВ)/АС. КВ=40(40-КВ)/24, 24КВ=1600-40КВ, 64КВ=1600, КВ=25 см, Подставим это значение в формулу коэффициента подобия: k=АВ/КВ=40/25=1.6 Исходя из подобия тр-ков АВС и КВР КР=АС/k=24/1.6=15 см - это ответ.
Пусть дан угол лежащий напротив основания и разность боковой стороны и основания равна а. 1) Построим равнобедренный треугольник ABC, у которого А - данный угол и AB=AC=a. 2) Проведем биссектрису угла ABC 3) Через точку B проведем перпендикуляр к этой биссектрисе до пересечения его с прямой AC в точке D. 4) Через точку D проведем прямую параллельную BC до пересечения ее с прямой AB в точке E. Тогда треугольник EAD - искомый.
Обоснование: т.к. BC||DE, то ∠ABC=∠BED. ∠EBD=180-∠ABC/2-90=90-∠ABC/2 ∠BDE=180-∠EBD-∠BED=180-(90-∠ABC/2)-∠ABC=90-∠ABC/2, т.е. ∠EBD=∠BDE, т.е. BE=DE. Отсюда AE-DE=AE-BE=a.
P.S. Если дан один угол равнобедренного треугольника, то найти остальные дополняя до 180 °- не проблема :)
Треугольник АВС подобен треугольнику ДЕС ⇒
х/к=у/(у-к);
к=х*у/(х+у);
по условию х+у=а, х*у=в;
к=в/а.