Question

Диагонали ромба abcd пересекаются в точке o, и диагональ bd равна стороне ромба. найдите угол между векторами: а) ab и ad; б) ab и da; в) ba и ad; г) oc и od; д) ab и cd желательно объяснить как решить хотя бы одно

Answer 1

Пусть стороны ромба $AB+BC+CD+AD=2x$.
Тогда и диагональ $BD=2x$. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, то $BO=OD= \frac{BD}{2} = \frac{2x}{2} =x$.
По теореме Пифагора найдем АО и СО: $AO=CO= \sqrt{AB^2-BO^2} =\sqrt{(2x)^2-x^2} = \sqrt{3x^2} =x \sqrt{3}$

Введем систему координат с началом в точке О, причем, так как диагонали ромба пересекаются по прямым углом, ось х сонаправим с вектором ОС, а ось у сонаправим с вектором ОВ.
Находим координаты точек О, А, В, С,D:
О(0; 0); A(-x√3; 0); B(0; x); C(x√3; 0); D(0; -x)

Угол α между двумя векторами $\vec{a}\{a_x; \ a_y\}$ и $\vec{b}\{b_x; \ b_y\}$ можно найти по формуле: $\alpha =\arccos \cfrac{a_xb_x+a_yb_y}{ \sqrt{a_x^2+a_y^2}\cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2}}$

а)
Каждая координата вектора высчитывается как разность между соответствующими координатами конца и начала вектора:
$\vec{AB}=\{0-(-x \sqrt{3}); \ x-0 \}=\{x \sqrt{3}; \ x \} \\\ \vec{AD}=\{0-(-x \sqrt{3}); \ -x-0 \}=\{x \sqrt{3}; \ -x \} \\\ \alpha =\arccos\cfrac{x \sqrt{3}\cdot x \sqrt{3}+x\cdot(-x) }{ \sqrt{(x \sqrt{3})^2+x^2 } \sqrt{(x \sqrt{3})^2+(-x)^2} } = \\\ =\arccos\cfrac{3x^2-x^2 }{ \sqrt{3x^2+x^2} \sqrt{3x^2+x^2} } =\arccos\cfrac{2x^2 }{2x\cdot2x } =\arccos\cfrac{1 }{2 } = \cfrac{ \pi }{3}$
Или: воспользоваться тем что треугольник АВD равносторонний, а значит каждый его угол равен 60 градусов

б)
$\vec{AB}=\{x \sqrt{3}; \ x \} \\\ \vec{DA}=-\vec{AD}=\{-x \sqrt{3}; \ x \} \\\ \alpha =\arccos\cfrac{x \sqrt{3}\cdot (-x \sqrt{3})+x\cdot x }{ \sqrt{(x \sqrt{3})^2+x^2 } \sqrt{(-x \sqrt{3})^2+x^2} } = \\\ =\arccos\cfrac{-3x^2+x^2 }{ \sqrt{3x^2+x^2} \sqrt{3x^2+x^2} } =\arccos\cfrac{-2x^2 }{2x\cdot2x } =\arccos(-\cfrac{1 }{2 } )= \cfrac{ 2\pi }{3}$
Или: воспользоваться тем что искомый угол можно найти как смежный с найденным в пункте а), а значит равный 180-60=120 градусов

в)
$\vec{BA}=-\vec{AB}=\{-x \sqrt{3}; \ -x \} \\\ \vec{AD}=\{x \sqrt{3}; \ -x \} \\\ \alpha =\arccos\cfrac{-x \sqrt{3}\cdot x \sqrt{3}-x\cdot (-x) }{ \sqrt{(-x \sqrt{3})^2+(-x)^2 } \sqrt{(x \sqrt{3})^2+(-x)^2} } = \\\ =\arccos\cfrac{-3x^2+x^2 }{ \sqrt{3x^2+x^2} \sqrt{3x^2+x^2} } =\arccos\cfrac{-2x^2 }{2x\cdot2x } =\arccos(-\cfrac{1 }{2 } )= \cfrac{ 2\pi }{3}$

г)
$\vec{OC}=\{x \sqrt{3}-0; \ 0-0 \} =\{x \sqrt{3}; \ 0 \} \\\ \vec{OD}=\{0-0; \ -x-0 \} =\{0; \ -x \} \\\ \alpha =\arccos\cfrac{x \sqrt{3}\cdot 0+0\cdot (-x) }{ \sqrt{(x \sqrt{3})^2+0^2 } \sqrt{0^2+(-x)^2} } =\arccos0= \cfrac{ \pi }{2}$
Или: воспользоваться тем что диагонали ромба перпендикулярны, а значит искомый угол равен 90 градусов

д)
$\vec{AB}=\{x \sqrt{3}; \ x \} \\\ \vec{CD}=\{0-x\sqrt{3}; \ -x-0 \} =\{-x\sqrt{3}; \ -x \} \\\ \alpha =\arccos\cfrac{x \sqrt{3}\cdot (-x \sqrt{3})+x\cdot (-x) }{ \sqrt{(x \sqrt{3})^2+x^2 } \sqrt{(-x \sqrt{3})^2+(-x)^2} } = \\\ =\arccos\cfrac{-3x^2-x^2 }{ \sqrt{3x^2+x^2} \sqrt{3x^2+x^2} } =\arccos\cfrac{-4x^2 }{2x\cdot2x } =\arccos(-1)= \pi$
Или: воспользоваться тем что заданные векторы лежат на параллельных сторонах ромба, но направлены в противоположные стороны, значит угол равен 180 градусов