Втреугольнике abc угол с—прямой; ас = 6 см, вс = 12 см. на стороне вс взята точка d так, что угол adc = 90° - угол в .на какие части точка d делит сторону вс?
ответ: на части 3 см и 9 см важно, что получится еще один прямоугольный треугольник ADC с острым углом = 90° - угол В, т.е. второй острый угол в этом треугольнике равен углу В и, следовательно, эти прямоугольные треугольники подобны))) Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°))) можно записать отношение соответственных сторон, а можно вспомнить тригонометрию... и найти тангенс угла (ведь даны по условию два катета)))
Обозначим стороны АВ=АС=b, BC=a, биссектрису BL=d, угол ABL=альфа, тогда углы при основании треугольника ABC=ACB=(2альфа)угол при вершине BAC=(180-4альфа)и альфа должен быть < 45 градусов, т.е. 2альфа должен быть < 90 градусов, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть тупым...угол ALB=(3альфа)по т.синусов: a*sin(2альфа) = b*sin(180-4альфа)отсюда a = b*sin(180-4альфа) / sin(2альфа) = b*sin(4альфа) / sin(2альфа) = = 2*b*cos(2альфа)по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)по условию задачи d = BC - AL = a - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = 2*b*cos(2альфа) - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = b* ( 2*cos(2альфа) - sin(альфа) / sin(3альфа) )для длины биссектрисы справедлива формула: d = 2*a*b*cos(альфа) / (a+b)отдельно запишем a+b = 2*b*cos(2альфа) + b = b*(2*cos(2альфа) + 1)d = 2*2*b*cos(2альфа)*b*cos(альфа) / ( b*(2*cos(2альфа) + 1) ) = = 4*b*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)если приравнять два получившихся равенства для биссектрисы d, то длина стороны b сократится и останется тригонометрическое равенство:sin(альфа) / sin(3альфа) = = 2*cos(2альфа) - 4*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)после несложных преобразований можно получить равенство:2*cos(2альфа)*(4*(cos(альфа))^2 - 1) = 1 + 4*cos(2альфа)*cos(альфа)это выражение можно привести к полному уравнению четвертой степени относительно косинуса альфа одно из решений здесь очевидно... cos(альфа) = +- 1/2но этот угол не может быть в равнобедренном треугольнике (см. выше...)))если решать оставшееся кубическое уравнение, то единственным подходящим решением получается cos(альфа) =примерно= 0.94 (0.93969)это угол около 20 градусовтогда углы данного равнобедренного треугольника 40, 40, 100
важно, что получится еще один прямоугольный треугольник ADC
с острым углом = 90° - угол В,
т.е. второй острый угол в этом треугольнике равен углу В
и, следовательно, эти прямоугольные треугольники подобны)))
Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°)))
можно записать отношение соответственных сторон,
а можно вспомнить тригонометрию...
и найти тангенс угла (ведь даны по условию два катета)))