Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно вспомнить основные свойства правильного девятиугольника и вписанной окружности.
Свойства правильного девятиугольника:
1. Все стороны правильного девятиугольника равны между собой.
2. Все углы правильного девятиугольника равны между собой и равны 140 градусов.
3. Диагонали правильного девятиугольника делят его на 36 равных треугольников.
Свойства вписанной окружности:
1. Вписанная окружность правильного девятиугольника касается всех его сторон в точках пересечения диагоналей.
Шаги решения:
1. Построим правильный девятиугольник ABCDEFGHI.
2. Нарисуем вписанную окружность внутри девятиугольника.
3. Обозначим точки пересечения окружности с каждой стороной девятиугольника как J, K, L, M, N, O, P, Q.
4. Посчитаем количество точек пересечения окружности с каждой стороной девятиугольника.
- Отрезок AB: точка J, точка K (2 точки)
- Отрезок BC: точка K, точка L (2 точки)
- Отрезок CD: точка L, точка M (2 точки)
- Отрезок DE: точка M, точка N (2 точки)
- Отрезок EF: точка N, точка O (2 точки)
- Отрезок FG: точка O, точка P (2 точки)
- Отрезок GH: точка P, точка Q (2 точки)
- Отрезок HI: точка Q, точка J (2 точки)
5. Сложим количество точек с каждой стороны: 2+2+2+2+2+2+2+2=16.
6. Ответ: В правильном девятиугольнике и вписанной окружности имеется 16 общих точек.
Таким образом, правильный девятиугольник и вписанная окружность имеют 16 общих точек.
a) K, L, M ∈ α; α║(SBC)
KL║BS; KM║BC; ML║CS как линии пересечения двух параллельных плоскостей с одной общей.
SH⊥(ABC); AT⊥BC; H∈AT как центр правильного треугольника лежащий на медиане. AH:HT=2:1 по свойству пересечения медиан.
LU⊥KM ⇒ KU=UM ⇒ U∈AT ⇒ LU⊂(AST) ⇒ LU∩SH
Рассмотрим плоскость AST.
LU║ST как линии пересечения двух параллельных плоскостей с (AST).
AK:KB=AL:LS=5:1 по теореме о пропорциональных отрезках.
AU:UT=AL:LS по теореме о пропорциональных отрезках.
Как уже известно AH:HT=2:1. Пусть AU=5x; UT=x ⇒AT=6x ⇒ AH=4x; HT=2x ⇒ HU=2x-x=x.
ΔSHT~ΔRHU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит SH:RH=HT:HU=2:1. Пусть SH=2y; RH=y ⇒ SR=2y-y=y ⇒ SR=y=RH
То есть плоскость делит высоту пополам.
б) AT=AB*sin 60°=(15+3)*√3/2=9√3.
ΔAST~ΔALU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит AL:AS=LU:ST=6:5.
HT=1/3 *9√3=3√3 т.к. AH:HT=2:1
SH=13 ⇒ ST=√(169+27)=14 ⇒ LU=5/6 *14=35/3.
ΔAKM~ΔABC по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит KM:BC=AK:AB=5:6 ⇒ KM=5/6 *18=15.
Как было указано в начале LU⊥KM ⇒ S=1/2* 15*35/3=175/2=87,5
ответ: 87,5.