Question

Прямая l проходит через точки a(2; 1) и b(-3; 9) напишите уравнение прямой m проходящей через точку c(3; 10) и препендикулярной прямой l

Answer 1

Уравнение прямой, проходящей через точки А и В

$\frac{x-x_A}{x_B-x_A}= \frac{y-y_A}{y_B-y_A} \\ \\ \frac{x-2}{-3-2}= \frac{y-1}{9-1} \\ \\ \frac{x-2}{-5}= \frac{y-1}{8}$
8(x-2)=-5(y-1)
8x-16=-5y+5
8x+5y-21=0     - уравнение вида  аx+by+c=0 ,
 причем   {a;b}- координаты вектора ортогонального этой прямой 
В данном случае {8;5}
Уравнение ортогональной ей прямой будет иметь общий  вид
-5х+8у+с=0    
Координаты ортогонального вектора  {-5;8} так подобраны, чтобы вектор {8;5} был ортогонален    вектору {-5;8} , т.е их скалярное произведение равно 0
8·(-5)+5·8=0

Чтобы найти с подставим координаты точки С(3;10) в уравнение

-5·3+8·10+с=0    ⇒    с=-65
-5х+8у-65=0
или
5х-8у+65=0

Это уравнение можно получить как уравнение прямой проходящей через точку С с направляющим вектором {p;q}

$\frac{x-x_C}{p}= \frac{y-y_C}{q} \\ \\$

направляющий вектор прямой m - это нормальный вектор прямой l с координатами {8;5}

$\frac{x-3}{8}= \frac{y-10}{5} \\ \\ 5(x-3)=8(y-10) \\ \\ 5x-8y+65=0$
ответ.  5х-8у+65=0