Допустим трапеция называется ABCD. BC=4, AD=8, H-высоты=5. Теперь рассмотрим треугольник ABH , нам нужно найти AH, AH=(AD-BC)/2 AH=(8-4)/2 AH=2. Формула тангенса равна tgA=BH/AH tgA=5/2 tgA=2,5
Точка О2 - центр вписанной окружности в тр-ник АВС. Точка О1 - центр заданной окружности. Около тр-ка АВС опишем окружность. АО2, ВО2 и СО2 - биссектрисы соответствующих углов. Продолжим отрезок СО2 до пересечения его с описанной окружностью в некой точке К. ∠АО2К=∠А/2+∠С/2, т.к. ∠АО2К является внешним к тр-ку АСО2. ∠ВАК=АВК=∠С/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка АВС. КА=КВ по этой же причине. Заметим, что в тр-ке АКО2 ∠КАО2=∠АО2К, значит он равнобедренный. КА=КО2=КВ, значит точка К - центр описанной около тр-ка АВО2 окружности. Тр-ник АВС - равнобедренный. В нём СМ - биссектриса и высота. В прямоугольном тр-ке АСМ ∠А+∠С=90°. Заметим, что и в тр-ке АСК ∠САК=90°, значит ∠CВК=90°. СА и CВ - касательные к окружности с центром в точке К. Точки А и В лежат на этой окружности. Но СА и CВ - касательные к заданной окружности, значит точки К и О1 совпадают. О1О2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник АВС окружности лежит на данной окружности. Доказано.
Если О - центр исходной окружности, а М - середина дуги BC, то ∠BCM=∠BOM/2 (т.к. угол вписанный в окр. равен половине дуги, на которую он опирается), ∠MCA=∠MOC/2 (т.к. угол между касательной и хордой из точки касания равен половине угла, который стягивает хорда). Т.к. ∠BOM=∠COM (у нас М - середина дуги BC), то ∠BCM=∠MCA. Т.е. MC - биссектриса угла BCA. Аналогично, BM - биссектриса угла ABC. Т.е. середина дуги лежит на пересечении биссектрис треугольника ABC, т.е. совпадает с центром вписанной окружности.
AH=2. Формула тангенса равна tgA=BH/AH tgA=5/2 tgA=2,5