Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны. (Если не в курсе, откуда это берется - отрезки касательных из одной точки до точки касания окружности равны, дальше просто все складывается :))
Поэтому в равнобедренной трапеции боковая сторона будет (54 + 24)/2 = 39.
Высота найдется из треугольника, образованного боковой стороной и частью основания - опускаем препендикуляр из вершины малого на большое основание.
Катеты этого треугольника Н и (54 - 24)/2 = 15, гипотенуза 39. Ну, дальше по Теореме Пифагора :))
Н^2 = 39^2 - 15^2 = 36^2;
H = 36.
Кто запоминает Пифагоровы тройки, сразу бы дал ответ - стороны этого треугольника - утроенные числа (5 12 13).
треуг.АВС, где угол C=90 град., и выс. CD делит его на 2 прямоуг.тр-ка.
.треуг. CDB (угол D=90 град.), катет CD=12, гипот. CВ=20, по теореме Пиф. 20^2=12^2+DB^2
Т.О., стор. DB=16
рассм.2треуг., получившийся при делении большого треуг.высотой:
CDA, где угол D =90 град.
Катет CD=12, катет DA=X, гипот. AC=Y
По.теор. Пифагора получаем:
Y^2=12^2+X^2
Теперь рассм.Исходный треуг.АВС
Катет АВ=20, катет АС=Y., гипот. СВ=X+16
По теоре.Пиф. получаем:
20^2+Y^2=(X+16)^2 => Y^2=X^2+32X+256-400 => Y^2=X^2+32X-144
подставляем в уравнение Y^2=12^2+X^2 выраженное значение Y, получаем:
X^2+32X-144=12^2+X^2
32X=288 X=9
Т.О., гипот. ВС=16+9=25
Катет АС=15
либо ∠ PBQ=∠QDP=90°
либо ВР=QD
PD=BQ
но что-то не получается