Question

Вразностороннем треугольнике большая сторона составляет 75 % суммы двух других. точка м, принадлежащая этой стороне, является концом биссектрисы треугольника. найдите расстояние от точки м до меньшей стороны треугольника, если меньшая высота треугольника равна 4 см.

Answer 1

 Меньшая высота проведена , к большей стороне   
 $a\ \textgreater \ b\ \textgreater \ c \\ a=0.75(b+c) \\$
 $a,b,c$ стороны треугольника      
 Получим тогда  из формул площадь через стороны и высоту 
 $bc*sin2a = 3(b+c)$                                                                                                  
 $a$ угол между биссектрисой и сторонами         
 Биссектриса по формуле равна $l = \frac{2bc*sina}{b+c} = \frac{3}{sina}$
 Тогда высота (расстояние проведенная к меньшей стороне )  
 $\frac{ch}{2} = \frac{\frac{3}{sina}*c*sina}{2} \\ h=3$
 ответ $3$ 

Answer 2

Пусть треугольник АВС, АС - основание и точка М - конец биссектрисы. Пусть АВ - меньшая сторона.
АС=0,75*(АВ+ВС) или 0,75*АВ+0,75*ВС.
Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол, значит меньшая высота - это высота ВК.
Итак, ВК=4. Тогда площадь треугольника АВС равна (1/2)*АС*ВК или Sabc=2AC=1,5(AB +BC).
Треугольники АВМ и АВС имеют общую высоту, опущенную из вершины В этих треугольников.  Значит их площади относятся, как их основания (свойство).
Поскольку ВМ - биссектриса, то АМ/МС=0,75АВ/0,75ВС (свойство биссектрисы).
Тогда Sabm/Sabc=0,75*АВ/АС=0,75*АВ/0,75*(АВ+ВС) = АВ/АВ+ВС.
Отсюда Sabm=Sabc*АВ/(АВ+ВС) или Sabm=1,5(AB+BC)*АВ/(АВ+ВС) или
Sabm=1,5*АВ.
С другой стороны, площадь треугольника АВМ равна Sabm=(1/2)*AB*h, где h- искомое расстояние - перпендикуляр из точки М к стороне АВ.
Тогда 1,5*АВ=(1/2)*AB*h, отсюда h= 1,5*2=3.
ответ: расстояние от точки М до меньшей стороны треугольника равно 3.
P.S. Намного длиннее, но может чуть понятнее...