1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
ответ: искомый угол равен 45°.
угол В = 180⁰-45⁰-30⁰=105⁰
Проведем высоту BH
Рассм. тр. AHB
Sin A = BH/AB
Sin45=BH/4√2
BH=4√2*(√2/2) =4
Так как угол A=45, то тр. AHB равнобед ⇒AH=BH=4
Рассм. тр. BHC
угол B = 180-30-90=60 ⇒ BC=2*BH = 2*4= 8 (катет лежащий против угла в 30)
по т. Пифагора
CH=√8²-4²=√64-16=√48=4√3
AC=AH+CH=4+4√3=8√3
угол B=105⁰, AC=8√3, BC=8