Рассмотрим наш тупоугольный треугольник ABC с известным углом C равным 150° и стороной AC равной 1 см. По условию задачи, перпендикуляр MN опущен к основанию ΔABC, деля сторону AB пополам. Если мы продолжим сторону BC и полученный отрезок соединим с AB, у нас образуется прямоугольный треугольник (нарисован зеленым). При том, что угол C₁ смежный с углом C, а значит равняется 30°. Теперь рассмотрим прям-ный Δ-к ACB. Зная два его угла (90° и 30°), можно найти третий, который равен 60°. У этого треугольника гипотенуза AC равна 1 см, по св-ву катета лежащего напротив угла 30° мы находим сторону AD: AD = 1/2 = 0,5. Сторона DC по т. Пифагора равна √3/2.
Теперь, как можно заметить из рисунка, AD является общей стороной для обоих треугольников. Но нам нужно найти MN, которая параллельна стороне AD. Прямая MN образует Δ-к MBN лежащий внутри большого Δ-ка ABC и данные треугольники являются подобными. Зная, что MN делит сторону AB в отношении 1:2 делаем вывод, что периметр Δ-ка MBN меньше периметра Δ-ка ABC в 2 раза, то же самое касается всех их сторон и площадей. Отсюда можно найти сторону MN:
a/a₁ = b/b₁ = c/c₁ ⇒ AD = 2MN ⇒ MN = 0,5/2 = 0,25
ответ: длина перпендикуляра 0,25 см.
Нам даны три вершины вписанного четырехугольника: А, В и С. Надо найти четвертую вершину, удовлетворяющую условию задачи.
Свойства: У вписанного четырехугольника сумма протволежащих углов равна 180°. МAB+<BCМ = <АВС+<АМС=180°. (1)
Центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов. (2)
Определение условий для построения
Пусть центр вписанной окружности О, тогда в четырехугольнике АВСО:
<АОС = 360° - <ВАО-<АВС-<ВСО или
<АОС = 360° - <АВС - ((1/2)*<МАВ + (1/2)<МСB)) (из 2).
Но из (1) ясно, что (1/2)*<МАВ + (1/2)*<МСB =90°.
Значит для удовлетворения условий задачи необходимо, чтобы
<АОС = 270° - <АВС.
а). Построение центра вписанной окружности.
Построим на отрезке АС треугольник АОС с углом
АОС = 270° - <АВС. Для этого:
1. Построим угол, равный (270 - <АВС)° и разделим его пополам.
2. Построим равнобедренный треугольник АРС с основанием АС и углами при основании АС, равными полученному в п.1 углу.
Построим описанную около треугольника АРС окружность и на пересечении этой окружности с биссектрисой угла АВС отметим точку О - центр вписанной окружности.
б). Найдем точку М: От луча АО отложим угол ОАК = углу ОАВ. => АО является биссектрисой утла КАВ. На пересечении луча АК и окружности, описанной около треугольника АВС, отметим искомую точку М.
Полученный четырехугольник АВСМ - вписанный и описанный.
Доказательство.
Поскольку все четыре вершины лежат на окружности, четырехугольник АВСМ вписанный.
<ABC=2*<ABO.
∠BОC = ∠AОC − ∠AОB = (270° − <ABC) − (180° − <BAO −<ABO) или
∠BОC =90° + <BAO −<ABO.
∠OCB = 180° − ∠OBC − ∠BOC или
∠OCB =180° − <ABO − (90 + <BAO − <ABO) = 90° - <BAO.
Но ∠BAO + ∠BCO = 180°, тогда
∠OCМ = ∠BCМ − ∠BCO = (180° − <ABC) − (90° − <BAO) = 90° − <BAO = ∠BCO.
Итак, <OCМ=<ВCO => CO - биссектриса угла C.
Значит, О - точка пересечения биссектрис углов A, B и C или центр вписанной окружности четырёхугольника ABCМ, то есть четырехугольник АВСМ - описанный.
Что и требовалось доказать.
P.S. Порядок построения углов, равных данному и углов, равных половине данного, нахождение центра вписанной и описанной окружности, так же как и построение серединного перпендикуляра к отрезку и перпендикуляра из точки к прямой опущен, так как это стандартные построения.
Если угол АВС<90, то построение аналогично, за исключением того, что равнобедренный треугольник строится на основании АС с углами при основании равными (360-(270-<ABC))/2 = 90°+<ABC. В полуплоскости (относительно прямой АС), не содержащей точку В (смотри второе приложение).
Площадь равнобедренной трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
Высота у нас уже есть Одно из оснований - тоже. Теперь надо найти большее основание. Если опустить высоту с меньшего основания на большее, то получим прямоугольный треугольник, где гипотенузой будет боковая сторона, одним из катетов - высота трапеции, а вторым катетом - часть основания трапеции. Чтобы узнать большее основание трапеции, нам нужно вычислить этот неизвестный катет в треугольнике, потому что длиной большего основания будет сумма двух таких катетов с меньшим основанием. Так как точно такой же треугольник можно получить, опустив высоту из другой точки меньшего основания трапеции. По теореме Пифагора вычисляем неизвестный катет
. Значит длина наибольшего катета равна 7+6+6=19 см. 