Question

Даны вершины треугольника а (2,-3) b(3,1) c(4,2). составить уравнение сторон, высоты bh, медианы ae, биссектрисы cf. найти углы треугольника, его площадь, точку пересечения медианы ae и высоты bh, а также длину высоты bh.

Answer 1

 Точка пересечения медианы AE и высоты BH.
Находим координаты точки Е:
$E( \frac{3+4}{2} ; \frac{1+2}{2} )=(3,5; 1,5).$
Уравнение прямой, содержащей медиану АЕ:
$\frac{x-2}{3,5-2}= \frac{y+3}{1,5+3}$.
Получаем каноническое уравнение: $\frac{x-2}{1,5} = \frac{y+3}{4,5}$.
Это же уравнение в общем виде: 4,5х - 9 = 1,5у + 4,5
После сокращения на 1,5, получим: 3х - у - 9 = 0.
Уравнение с коэффициентом: у = 3х - 9.

Чтобы найти уравнение высоты ВН находим уравнение стороны АС, на которую опущен перпендикуляр ВН:
$AC: \frac{x-2}{4-2}= \frac{y+3}{2+3}$
$AC: \frac{x-2}{2}= \frac{y+3}{5}$
5x -10 = 2y + 6
Уравнение АС в общем виде: 5х - 2у - 16 = 0.
Уравнение с коэффициентом: у = (5/2)х + (16/2) = (5/2)х + 8.
Коэффициент "к" высоты ВН равен -1 / (5/2) = -2 / 5.
Подставляем координаты точки В в уравнение высоты:
ВН: 1 = (-2/5)*3 + в       в = 1 + (6/5) = 11/5.
Получаем уравнение высоты ВН: у = (-2/5)х + (11/5).
Теперь находим точку пересечения медианы АЕ и высоты ВН:
3х - 9 =  (-2/5)х + (11/5)
Приводим к общему знаменателю:
15х - 45 = -2х + 11
17х = 56
 Получаем координаты точки пересечения
х = 56 / 14 =  3.294118.
у = 3* 3.294118 - 9 =  0.882353.

Остальные решения приведены в приложении.