Question

Даны вершины треугольника а(-2: 3),в(4: 7),с(11: 5),написать уравнение высоты вd

Answer 1

Уравнение прямой АС:
$\frac{x-x_A}{x_C-x_A}= \frac{y-y_A}{y_C-y_A} \\ \\ \frac{x-(-2)}{11-(-2)}= \frac{y-3}{5-3} \\ \\ \frac{x+2}{13}= \frac{y-3}{2}$
Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
2(х+2)=13(у-3)
2х+4=13у-39
2х-13у+43=0      -   уравнение прямой АС

Нормальный вектор этой прямой имеет координаты (2;-13)
Уравнение прямой BD  запишем в общем  виде:
ax+by+c=0
Нормальный вектор прямой BD  имеет координаты (a;b)
Нормальные векторы прямых АС и BD ортогональны, так как прямые ортогональны.
Скалярное произведение таких векторов равно 0
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат
2a-13b=0
Нетрудно догадаться, что достаточно  взять а=13; b=2
Чтобы найти с подставим координаты точки В в уравнение прямой BD
13x+2y+c=0
В(4:7)     x=4     у=713·4+2·7+с=0     ⇒      с=-66

Уравнение прямой BD :      13x+2y-66=0


Применяем уравнение прямой в виде   у=kx+b 
-уравнение прямой с угловым коэффициентом k

Запишем уравнение прямой АС в виде
 у=kx+b
Чтобы найти k и b  подставим координаты точек
А(-2;3)   х=-2    у=3   
С(11;5)   х=11   у=5   
в уравнение у =kx+b

Получим систему двух уравнений
3=-2k+b
5=11k+b

Вычитаем из первого уравнения второе    -2=-13k⇒    k=2/13
b=3+2k=3+(4/13)=43/13

Уравнение прямой АС :      у = (2/13)x+ (43/13)
и
Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых при умножении равны (-1)
Угловой коэффициент прямой BD  равен (-13/2)

Уравнение BD также пишем в виде 
у=kx+b
Угловой коэффициент  k =(-13/2)
у=(-13/2)х+b

Чтобы найти b подставим координаты точки В в это уравнение
В(4;7)     х=4      у=7

7=(-13/2)·4+ b     ⇒      b=7+26=33
Уравнение прямой BD
y=(-13/2)x+ 33