Дан правильный тетраэдр МАВС. Все его ребра равны. АВ=АС=ВС=МА=МВ=МС=√6/2.
Через точку А₁ на ребре АВ, АА₁=А₁В в плоскости треугольника АМВ проведем прямую параллельную прямой АМ. Получим точку М₁, лежащую на ребре МВ, такую, что ММ₁=М₁В. АМ || A₁M₁. Через точку М₁ в грани МВС проведём прямую параллельную МС. Получим точку С₁ на ребре ВС, так что ВС₁=С₁С. МС || М₁С₁ Соединим точки А₁ и С₁, получим треугольник А₁С₁М₁ - нужное нам сечение. Причем А₁С₁ || AC, так как является средней линией треугольника АВС. Каждая сторона треугольника А₁М₁С₁ является средней линией треугольника АМС и А₁М₁=А₁С₁=М₁С₁=√6/4
Чтобы найти расстояние между плоскостями АМС и А₁М₁С₁ опустим перпендикуляр из точки В на плоскость АМС. Так как дан тетраэр, то вершина В проектируется в центр окружности, описанной около правильного треугольника АМС ОА=ОС=ОМ=R Аналогично точка О₁ - центр окружности, описанной около правильного треугольника А₁М₁С₁ О₁А₁=О₁С₁=О₁М₁=R/2 в силу подобия треугольников АМС и А₁М₁С₁ с коэффициентом подобия 2.
радиус окружности описанной около равностороннего треугольника можно найти по формуле
при a=√6/2 получаем R=√6/2 ·√3/3=√2/2 Тогда по теореме Пифагора ВО²=АВ²-АО²=(√6/2)²-(√2/2)²=6/4 - 2/4=4/4=1 Значит ВО₁=1/2 в силу подобия и ОО₁=ВО-ВО₁=1/2 ответ 1/2
Сейчас : ) площадь полной поверхности (sполн) равна 36. решение: sполн = 4sграни + 2sоснования. грани в прямой призме с основанием в виде ромба равны. sграни=h*a=3а, где а - сторона ромба. sоснования=2*sтреугольника. sтреугольника=(а*h)/2, так как треугольник с углом 60 град - равносторонний. далее sоснования=2*(a*h)/2=a*h=3а=sграни; sполн = 4sграни + 2sграни = 6sграни = 6*3*а= 18*а. теперь осталось найти а. рассмотрим равносторонний треугольник (половина основания призмы).найдём высоту: h=(2√3)/2; теперь рассмотрим прямоугольный треугольник (половина основания призмы) и найдём а. cos(60град/2)=((2√3)/2)/а, отсюда √3/2=√3/а, а=2. подставляем в формулу sполн = 18*2 =36
