Question

Втрапеции abcd с основаниями bc и ad диагонали пересекаются в точке о, bo=4 см, od=20 см, ac=36 см. найдите отрезки ao и oc.

Answer 1

Решим данную задачу на подобие треугольников.

1) $\angle AOD=\angle COB$ (как вертикальные)

2) $\angle DAO=\angle BCO$ (как внутренние накрест лежащие при $AD~||~BC$ и секущей $AC$)

Таким образом, треугольники AOD и COB подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон :

$\displaystyle \frac{AD}{BC}=\frac{OD}{OB}=\frac{AO}{OC}$

Зная, что AC = AO + OC откуда AO = AC - OC, имеем

$\displaystyle \frac{OD}{OB}=\frac{AC-OC}{OC} ~~~\Rightarrow~~~\frac{OD}{OB}=\frac{AC}{OC}-1\\ \\ \frac{AC}{OC}=\frac{OD}{OB}+1 ~~~\Rightarrow~~~OC=\frac{OB\cdot AC}{OD+OB}=\frac{4\cdot36}{20+4} = 6$

Тогда AO = AC - OC = 36 - 6 = 30 см

ответ: АО=30 см, ОС=6 см.