Диагонали трапеции oiua с основаниями oi и ua пересекаются в точке e под прямым углом. известно, что сторона ua меньше стороны oi и угол o прямой. биссектриса угла oea пересекает oa в точке k, а прямая, проходящая через точку k параллельно oi, пересекает прямую iu в точке l. докажите, что kl и oa равны.

👇

Ответ:

yulyasmernyagi

16.10.2021

Обозначим OA=OK+AK=1, ∠AOU=∠AIO=a и R - точка пересечения KL и OU. Тогда AU=tg(a), OI=ctg(a), AK/OK=AE/OE=tg(a), откуда OK=1/(1+tg(a)) и AK=tg(a)/(1+tg(a)). KR/AU=OK/OA, т.е. KR=tg(a)/(1+tg(a)) и RL/OI=AK/OA, т.е. RL=1/(1+tg(a)). Значит, KL=KR+RL=1.

4,5(81 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

я2двойшник

16.10.2021

К сожалению не проходят вложения. Попробую на словах.

а) Из т.К проведем отрезок КР // АС. Тр. ВКР подобен тр. АВС

ВК = АВ/4 (по условию). Значит КР = АС/4 = 15/4, ВР = ВС/4 = 7/4, но ВL = 4,

LC = 3. Тогда РL = 4 - 7/4 = 9/4.

Переходим к другой паре подобных тр-ов: KPL и LMC.

KP/CM = LP/LC 15/(4CM) = 9/(4*3) Отсюда: СМ = 5. Для нахождения последней стороны LM тр. LMC найдем cos LCM = - cosACB =

= - (BC^2 + AC^2 - AB^2)/(2BC*AC) = - (225+49-260)/210 = 14/210 = - 1/15.

Теперь по теореме косинусов найдем LM:

LM =кор(LC^2 + CM^2 - 2*LC*CM*cosLCM) = кор(9 + 25 + 2*3*5*/15) = 6.

Итак в тр-ке LMC известны все стороны:

MC = 5, LC = 3, LM = 6. Полупериметр: p = 7. Площадь по ф. Герона:

S = кор[7*(7-3)(7-5)(7-1)] = кор56. С другой стороны, S = pr, где r - радиус вписанной окр-ти . r = (кор56)/7 = (2кор14)/7

ответ: r = (2кор14)/7.

б) Найдем координаты точки О - центра вписанной окр-ти, поместив начало системы координат в т.А и направив ось Х по AC.

т.О - точка пересечения биссектрис тр. LMC. Проведем ОN перпендик. СМ

ОN = r = (2кор14)/7.

Тр-к СОN: СN = ON/tg(LCM/2) tg(LCM/2)= sinLCM /(1+cosLCM) =

= (2кор14)/7.

Тогда CN = 1.

Итак точка О ( и весь вектор АО) имеет координаты (16; (2кор14)/7)

Длина вектора АО = кор[ 256 + 56/49] = (30кор14)/7

ответ: АО = (30кор14) / 7.

4,4(77 оценок)

Ответ:

Простокнигоманка

16.10.2021

x^2/3+y^2/1=1. y^2=2x.
Выразим из каждого уравнения у и найдем их производную
$\frac{x^2}{3}+ \frac{y^2}{1}=1 \\ y= \sqrt{1- \frac{x^2}{3}} \\ y'= \frac{-2x}{2*3\sqrt{1- \frac{x^2}{3}} } \\ y'= \frac{-x}{3\sqrt{1- \frac{x^2}{3}} }$

$y^2=2x \\ y= \sqrt{2x} \\ y'= \frac{2}{2 \sqrt{2x} } =\frac{1}{ \sqrt{2x} }$

Пусть (x₁;y₁) - координаты точки касания на первой линии, (x₂;y₂) - на второй. Получим уравнение касательной для первой и второй линий.
Поскольку производная равна угловому коэффициенту касательной, то для общей касательной выполняется равенство производных
$\frac{-x_1}{3\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}} }=\frac{1}{ \sqrt{2x_2} } \\ 
 \sqrt{2x_2}= \frac{3\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}} }{x_1} \\ 
x_2= \frac{9( 1- \frac{x_1^2}{3})}{2x_1^2}$
Общий вид уравнения касательной:
y=f(x₀)+f '(x₀)(x-x₀)
$1) \\ y= \sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}}+\frac{-x_1}{3\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}} }(x-x_1) \\ 2) \\ y= \sqrt{2x_2} +\frac{1}{ \sqrt{2x_2} } (x-x_2)= \\=\sqrt{2x_2} +\frac{1}{ \sqrt{2x_2} } (x-x_2) \\ 
 =-{ \frac{3\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}} }{x_1} } +\frac{-x_1}{3\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}} }(x- \frac{9(1- \frac{x_1^2}{3})}{2x_1^2} )$
Т.к. речь идет об одной и той же касательной, то
$\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}}+\frac{-x_1}{3\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}} }(x-x_1)= \\ 
=-{ \frac{3\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}} }{x_1} } +\frac{-x_1}{3\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}} }(x- \frac{9(1- \frac{x_1^2}{3})}{2x_1^2} )$
$\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}}+\frac{x_1^2}{3\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}} }=-{ \frac{3\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}} }{x_1} } +\frac{3(1- \frac{x_1^2}{3})}{2x_1\sqrt{1- \frac{x_1^2}{3}} }$
$6x_1(1- \frac{x_1^2}{3})+2x_1^3=-18(1- \frac{x_1^2}{3}) +9(1- \frac{x_1^2}{3}) \\ 6x_1-2x_1^3+2x_1^3=-18+6x_1^2+9-3x_1^2 \\ 3x_1^2-6x_1-18=0 \\ x_1^2-2x_1-3=0 \\ D=2^2-4(-3)=16 \\ 
 \sqrt{D} =4 \\ x_{11}=(2-4)/2=-1 \\ 
x_{12}=(2+4)/2=3$
Тогда искомое уравнение
$y= б\sqrt{1- \frac{1}{3}}б\frac{-1}{3\sqrt{1- \frac{1}{3}} }(x+1) \\ 
y= \sqrt{ \frac{2}{3}}+\frac{1}{3\sqrt{ \frac{2}{3}} }(x+1) \\ 
y= б\frac{2}{\sqrt{6}}б\frac{1}{\sqrt{6} }(x+1) \\ 

$
Если f(x₀)>0, то и k>0. Второй полученный корень не рассматриваем, т.к. при этом знаменатель обращается в 0
$1) y= \frac{2}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6} }(x+1) \\ y=\frac{1}{\sqrt{6} }(x+3) \\ 
2) y= -\frac{2}{\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6} }(x+1) \\ y=\frac{1}{\sqrt{6} }(-x-3)$

Составить уравнения общих касательных к двум прямом второго порядка x^2/3+y^2/1=1. y^2=2x.