Дано:
∠A=45° , ∠C=30° . AD ⊥ BC , AD = 3 м
AB, BC, AC - ?
Из ΔADC(∠ADC=90°) , катет, который лежит против угла 30° равен половине гипотенузы. AC=2AD=2*3=6м
Сумма углов треугольника = 180° . ∠B=180°-(45°+30)°=105°
\begin{gathered}sin105^{\circ}=sin(135^{\circ}-30^{\circ})=sin135^{\circ}cos30^{\circ}-cos135^{\circ}sin30^{\circ}==\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3} }{2}+\frac{\sqrt{2} }{2}*\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6} }{4}+\frac{\sqrt{2} }{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{gathered}
sin105
∘
=sin(135
∘
−30
∘
)=sin135
∘
cos30
∘
−cos135
∘
sin30
∘
=
=
2
2
∗
2
3
+
2
2
∗
2
1
=
4
6
+
4
2
=
4
6
+
2
По теореме синусов найдём BC :
\begin{gathered}\frac{BC}{sin45^{\circ}}=\frac{AC}{sin105^{\circ}}frac{BC}{\frac{\sqrt{2} }{2} }=\frac{6}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}BC\sqrt{2}=\frac{24}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}BC\sqrt{2}=6(\sqrt{6}-\sqrt{2})BC=\frac{6\sqrt{6}-6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6\sqrt{3}-6\end{gathered}
sin45
∘
BC
=
sin105
∘
AC
2
2
BC
=
4
6
+
2
6
BC
2
=
6
+
2
24
BC
2
=6(
6
−
2
)
BC=
2
6
6
−6
2
=6
3
−6
Найдём AB:
\begin{gathered}\frac{AB}{sin30^{\circ}}=\frac{BC}{sin45^{\circ}}frac{AB}{\frac{1}{2} }=\frac{6\sqrt{3}-6 }{\frac{\sqrt{2} }{2} }2AB=\frac{12\sqrt{3}-12 }{\sqrt{2} }2AB=\frac{2\sqrt{2}(6\sqrt{3}-6)}{2}2AB=6\sqrt{6}-6\sqrt{2}AB=3\sqrt{6}-3\sqrt{2}\end{gathered}
sin30
∘
AB
=
sin45
∘
BC
2
1
AB
=
2
2
6
3
−6
2AB=
2
12
3
−12
2AB=
2
2
2
(6
3
−6)
2AB=6
6
−6
2
AB=3
6
−3
2
ответ: AC = 6м , AB = 3\sqrt{6}-3\sqrt{2}3
6
−3
2
м , BC = 6\sqrt{3}-66
3
−6 м
