В усеченном конусе радиусы оснований равны 5 см и 3 см. Через две его образующие проведено сечение плоскостью, которая отсекает от оснований дуги по 120°. Найдите площадь (в см²) сечения, если высота усеченного конуса равна √2 см.
—————————
ответ: 12 см²
Объяснение: Основания усеченного конуса параллельны, его образующие равны,⇒ основания сечения лежат в параллельных плоскостях, а плоскость сечения является равнобедренной трапецией.
Радиусы оснований и хорды, соединяющая их концы, образуют равнобедренные треугольники АОВ и СО1D c углами при вершинах О и О1, равными величине отсекаемых плоскостью сечения дуг, т.е. 120°.
Из суммы углов треугольника острые углы этих треугольников (180°-120°):2=30°.
По т. синусов АВ:sin120°=ОВ:sin30°, откуда АВ=5√3.
Аналогично СD=3√3
По свойству катета, противолежащего углу 30°, катет О1М=0,5•О1С=3/2 см.
Аналогично ОN=0,5•ОВ=0,5•5=2,5 см.
Для нахождения высоты MN трапеции АВСD проведем высоты(медианы) О1М в ∆ СO1D и ON в ∆ ВOA и опустим из М перпендикуляр МН на ОN.
ОН⊥АВ ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах MN⊥АВ. MN - высота сечения.
OH=O1M=1,5 см
НN=2,5-1,5=1 MH=O1O=√2 см
В прямоугольном треугольнике МНN по т.Пифагора МN=√(MN^2+NH^2)=√(2+1)=√3 см
Площадь трапеции равна произведению её высоты на полусумму оснований.
S(ABCD)=MN•(CD+AB)•1/2=(3√3+5√3)•1/2=12 (см²)
DOA = 70°. Дано в задаче.
BOC = DOA = 70°. Вертикальные углы равны (1).
DOC = 180° - 70° - 110°. Смежные углы в сумме дают 180° (2).
AOB = DOC = 110°. (1).
ODC = (180° - 110°) / 2 = 35°. Сумма углов треугольника равна 180° (3). Если треугольник равнобедренный, то углы при его основаниях равны (4).
ADO = 90° - 35° = 55°. Два угла составляют прямой угол (5).
OAD = ADO = 55°. (4).
OAB = 90° - 55° = 35°. (5).
OBA = OAB = 35°. (4).
OBC = 90° - 35° = 55°. (5).
OCB = OBC = 55°. (4).
Все остальные углы состоят из других и их можно посчитать по сумме. Например:
DAB = DAO + BAO = 55° + 35° = 90°.
